Zadanie nr 7922647
Wyznacz punkt wspólny symetralnej odcinka , gdzie
, oraz osi
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Sposób I
Pamiętamy, że symetralna odcinka jest to taka prosta która jest równo oddalona od końców tego odcinka. Otrzymujemy więc równanie

Żeby policzyć punkt przecięcia z osią wystarczy podstawić

Zatem punkt przecięcia ma współrzędne .
Sposób II
Wyznaczamy środek odcinka

Skorzystamy ze wzoru

na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
. W naszym przypadku punktem
będzie środek
odcinka
(symetralna odcinka zawsze przechodzi przez jego środek) natomiast wektor będzie równy

Symetralna ma więc równanie

Znowu podstawiamy i otrzymujemy

Zatem współrzędne punktu przecięcia to .
Sposób III
Oznaczmy przez równanie szukanej symetralnej. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
i
. Otrzymujemy układ równań

Odejmujemy stronami i otrzymujemy

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka

Napiszemy teraz równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt
. Zaczynamy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego z warunku na prostopadłość

Teraz podstawiamy współrzędne punktu i obliczamy

Zatem otrzymujemy równanie prostej . Teraz wystarczy podstawić tylko

Czyli punkt przecięcia ma współrzędne .
Odpowiedź: