Zadanie nr 7922647
Wyznacz punkt wspólny symetralnej odcinka , gdzie
, oraz osi
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Sposób I
Pamiętamy, że symetralna odcinka jest to taka prosta która jest równo oddalona od końców tego odcinka. Otrzymujemy więc równanie
![∘ ------------------- ∘ ------------------- (x+ 3)2 + (y− 4)2 = (x − 2)2 + (y − 1)2 (x + 3 )2 + (y − 4)2 = (x− 2)2 + (y − 1 )2 2 2 2 2 x + 6x + 9+ y − 8y+ 16 = x − 4x + 4 + y − 2y + 1 6x − 8y+ 25 = − 4x − 2y + 5 1 0x+ 20− 6y = 0 ⇒ 5x + 10 − 3y = 0 .](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR1x.gif)
Żeby policzyć punkt przecięcia z osią wystarczy podstawić
![10 10 − 3y = 0 ⇒ y = --. 3](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR4x.gif)
Zatem punkt przecięcia ma współrzędne .
Sposób II
Wyznaczamy środek odcinka
![( ) ( ) S = 2+--(−3-), 1-+-4 = − 1, 5- . 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR7x.gif)
Skorzystamy ze wzoru
![p(x − a )+ q(y − b ) = 0](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR8x.gif)
na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
. W naszym przypadku punktem
będzie środek
odcinka
(symetralna odcinka zawsze przechodzi przez jego środek) natomiast wektor będzie równy
![− → ( ( ) ) ( ) AS = − 3 − − 1- ,4− 5- = − 5, 3 . 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR14x.gif)
Symetralna ma więc równanie
![( ( )) ( ) 5- 1- 3- 5- − 2 x − − 2 + 2 y− 2 = 0 − 5x − 5-+ 3y − 1-5 = 0 2 4 2 4 − 1 0x+ 6y − 20 = 0 ⇒ 3y − 5x − 10 = 0.](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR15x.gif)
Znowu podstawiamy i otrzymujemy
![10 y = --. 3](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR17x.gif)
Zatem współrzędne punktu przecięcia to .
Sposób III
Oznaczmy przez równanie szukanej symetralnej. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
i
. Otrzymujemy układ równań
![{ 4 = − 3a + b 1 = 2a + b.](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR22x.gif)
Odejmujemy stronami i otrzymujemy
![3- − 3 = 5a ⇒ a = − 5 ( 3) 11 1 = 2 ⋅ − -- + b ⇒ b = --. 5 5](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR23x.gif)
Wyznaczamy współrzędne środka odcinka
![( ) ( ) S = 2+--(−3-), 1-+-4 = − 1, 5- . 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR25x.gif)
Napiszemy teraz równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt
. Zaczynamy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego z warunku na prostopadłość
![3 5 − --a = − 1 ⇒ a = -. 5 3](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR28x.gif)
Teraz podstawiamy współrzędne punktu i obliczamy
![5 1 5 20 1 0 2-= − 2-⋅ 3 + b ⇒ b = 6--= -3-.](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR31x.gif)
Zatem otrzymujemy równanie prostej . Teraz wystarczy podstawić tylko
![10 y = --. 3](https://img.zadania.info/zad/7922647/HzadR34x.gif)
Czyli punkt przecięcia ma współrzędne .
Odpowiedź: