/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Symetralna

Zadanie nr 8157792

Punkt A = (− 4,2) oraz B = (2 ,6) są symetryczne względem prostej k . Wyznacz równanie prostej k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli wykonamy szkicowy rysunek to dostrzegamy, że szukana prosta to symetralna odcinka AB .

PIC

Sposób I

Najpierw wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej postaci: y = ax+ b przechodzącej przez punkty A i B

{ 2 = − 4a + b . 6 = 2a + b

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy

2 4 = 6a ⇒ a = -. 3

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A ,B , więc musi być postaci y = − 32x + b . Ponadto, prosta ta musi przechodzić przez środek S odcinka AB . Obliczamy współrzędne środka odcinka AB

( ) 2-−-4-2-+-6- S = 2 , 2 = (− 1,4).

Podstawiamy współrzędne punktu S i obliczamy wyraz wolny b

( ) 4 = − 1 ⋅ − 3- + b ⇒ b = 5-. 2 2

Zatem

3- 5- k : y = − 2x + 2.

Sposób II

Symetralna odcinka AB to zbiór punktów P = (x ,y ) , które są równo odległe od punktów A i B . Punkty te muszą więc spełniać równanie.

2 2 AP = BP (x + 4)2 + (y − 2)2 = (x − 2 )2 + (y − 6)2 x 2 + 8x + 1 6+ y2 − 4y+ 4 = x2 − 4x + 4 + y2 − 12y + 3 6 8y = − 12x + 20 / : 8 3- 5- y = − 2x + 2 .

 
Odpowiedź: y = − 3x+ 5 2 2

Wersja PDF