W układzie współrzędnych dane są dwa punkty: A=(-2,2) i B=(4,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Symetralna, 9917203

Zadanie nr 9917203

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty: $A = (− 2,2)$ i $B = (4,4)$ .

Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$ .
Prosta $AB$ oraz prosta o równaniu $3x − 2y − 1 1 = 0$ przecinają się w punkcie $C$ . Oblicz współrzędne punktu $C$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Szukana symetralna to prosta przechodząca przez środek $S$ odcinka $AB$ i do niego prostopadła. Zacznijmy od napisania równania prostej $AB$ . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A = (xA ,yA)$ i $B = (xB,yB )$ : $(y − yA )(xB − xA )− (yB − yA)(x − xA ) = 0.$
W naszej sytuacji mamy
$(y − 2)6 − 2(x + 2) = 0 (y − 2)3 − (x + 2 ) = 0 3y − x − 8 = 0 ⇒ y = 1(x + 8). 3$
Szukana symetralna ma zatem współczynnik kierunkowy $− 3$ (bo jest prostopadła do $AB$ ), czyli jest postaci $y = − 3x+ b$ . Współczynnik $b$ wyznaczymy korzystając z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka
$( ) −-2+-4- 2-+-4- S = 2 , 2 = (1,3).$
Mamy zatem
$3 = − 3 + b ⇒ b = 6.$

Odpowiedź: $y = − 3x + 6$
W poprzednim podpunkcie wyznaczyliśmy równanie prostej $AB : y = 1(x + 8) 3$ . Podstawiamy tę wartość do podanego równania prostej. $2 3x− -(x + 8 )− 1 1 = 0 / ⋅3 3 9x− 2x − 16 − 33 = 0 7x = 49 ⇒ x = 7 1(x + 8) = 5. 3$

Odpowiedź: $C = (7,5)$