/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 12 maja 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(2 pkt)

W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m (t) określa masę substancji w gramach po pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m (t) . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

Zadanie 2

(3 pkt)

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 3

(3 pkt)

Funkcja jest określona wzorem 2 f(x ) = x32x+−2x2+x8- dla każdej liczby rzeczywistej . Punkt P = (x0,3) należy do wykresu funkcji . Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Zadanie 4

(3 pkt)

Liczby rzeczywiste oraz spełniają jednocześnie równanie x + y = 4 i nierówność

x3 − x2y ≤ xy 2 − y 3.

Wykaż, że x = 2 oraz y = 2 .

Zadanie 5

(3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ABC | = 90 oraz ∘ |∡CAB | = 60 . Punkty i leżą na bokach – odpowiednio – i tak, że |BK | = |BL | = 1 (zobacz rysunek). Odcinek przecina wysokość tego trójkąta w punkcie , a ponadto |AD | = 2 .

Wykaż, że √ -- |ND | = 3+ 1 .

Zadanie 6

(3 pkt)

Rozwiąż równanie 4 sin 4x cos 6x = 2 sin 10x + 1 .

Zadanie 7

(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 6. Punkt jest punktem przecięcia przekątnych i ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu na bok tego trójkąta.

Zadanie 8

(4 pkt)

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem – kąt ostry, którego sinus jest równy 1 4 . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Zadanie 9

(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √ --2--------- 25 √ -2---------- x + 4x + 4 < 3 − x − 6x + 9 .

Zadanie 10

(4 pkt)

Określamy kwadraty K 1, K 2, K 3, ... następująco:

jest kwadratem o boku długości
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Zadanie 11

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 2 , dla których równanie

m − 3 x2 + 4x− ------ = 0 m − 2

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek x13+ x 32 > − 28 .

Zadanie 12

(6 pkt)

Funkcja jest określona wzorem

√ --- f(x ) = 81log3x + 2⋅log-2--27-⋅log32-⋅x 2 − 6x 3

dla każdej liczby dodatniej .

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej wzór funkcji można równoważnie przekształcić do postaci .
Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej dla każdej liczby dodatniej .

Zadanie 13

(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x 2 − 7x + 1 w punktach oraz . Odcinek jest średnicą okręgu . Punkt leży na okręgu nad prostą , a kąt BAC jest ostry i ma miarę taką, że tg α = 1 3 (zobacz rysunek).