/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 12 maja 2023 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej
funkcja
określa masę substancji w gramach po
pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji
. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe . Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Liczby rzeczywiste oraz
spełniają jednocześnie równanie
i nierówność
![x3 − x2y ≤ xy 2 − y 3.](https://img.zadania.info/zes/0042349/HzesT17x.png)
Wykaż, że oraz
.
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
oraz
. Punkty
i
leżą na bokach – odpowiednio –
i
tak, że
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina wysokość
tego trójkąta w punkcie
, a ponadto
.
Wykaż, że .
Rozwiąż równanie .
Dany jest sześcian o krawędzi długości 6. Punkt
jest punktem przecięcia przekątnych
i
ściany bocznej
(zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu
na bok
tego trójkąta.
Czworokąt , w którym
i
, jest opisany na okręgu. Przekątna
tego czworokąta tworzy z bokiem
kąt o mierze
, natomiast z bokiem
– kąt ostry, którego sinus jest równy
. Oblicz obwód czworokąta
.
Rozwiąż nierówność .
Określamy kwadraty następująco:
-
jest kwadratem o boku długości
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej ,
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zes/0042349/HzesT64x.png)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![x2 + 4x− m-−--3 = 0 m − 2](https://img.zadania.info/zes/0042349/HzesT66x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
.
Funkcja jest określona wzorem
![√ --- log3x 2⋅log-2--27-⋅log32- 2 f(x ) = 81 + 3 ⋅x − 6x](https://img.zadania.info/zes/0042349/HzesT70x.png)
dla każdej liczby dodatniej .
-
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej
wzór funkcji
można równoważnie przekształcić do postaci
.
-
Oblicz najmniejszą wartość funkcji
określonej dla każdej liczby dodatniej
.
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta
o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
. Odcinek
jest średnicą okręgu
. Punkt
leży na okręgu
nad prostą
, a kąt
jest ostry i ma miarę
taką, że
(zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu .