/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 1 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut
Dane są liczby oraz
. Wyraź
za pomocą
oraz
.
Informacja do zadań 2.1 i 2.2
Funkcja określona jest wzorem

dla każdego . Pochodna funkcji
w punkcie
jest równa 0.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są trzy kule czarne i cztery kule białe, w drugiej urnie są dwie kule czarne i pięć białych. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu wylosujemy kulę białą.
Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.
Rozwiąż nierówność

gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
spełniające warunek

Rozwiąż równanie

Dany jest trójkąt równoramienny , w którym
, a punkt
jest środkiem podstawy
. Okrąg o środku
jest styczny do prostej
. Punkt
leży na boku
, punkt
leży na boku
, odcinek
jest styczny do rozważanego okręgu oraz
(zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąt jest równoboczny.
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt
jest wierzchołkiem trójkąta
. Prosta
o równaniu
zawiera dwusieczną kąta
tego trójkąta. Okrąg
o równaniu
jest wpisany w ten trójkąt. Wyznacz współrzędne wierzchołków
i
trójkąta
.
Dany jest graniastosłup prosty , którego podstawą jest trójkąt
o kątach
i
. Przekątne
i
ścian bocznych tworzą kąt o mierze
takiej, że
(zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe 4, a pole trójkąta
jest równe
. Oblicz wysokość
tego graniastosłupa.
Budżet przeznaczony na ogrodzenie pewnej działki w kształcie trójkąta równoramiennego (
) wynosi 12 000 zł.
Ze względu na warunki terenowe, koszt wykonania 1 metra bieżącego ogrodzenia jest różny dla każdego z boków trójkąta i wynosi odpowiednio: 140 zł dla boku
, 100 zł dla boku
i 360 zł dla boku
. Oblicz jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby odgradzało ono działkę o największym możliwym polu powierzchni. Wymiary podaj z dokładnością do 1 metra.