/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023

Planimetria – okręgi poziom rozszerzony

Zadanie 1

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach i , styczne zewnętrznie w punkcie . Prosta jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach i oraz |∡AP C | = α i |∡ABC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180∘ − 2β .

Zadanie 2

Odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary ∘ ∘ |∡CAB | = 42 , |∡ABC | = 78 . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie przecina prostą w punkcie (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .

Zadanie 3

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Zadanie 4

Na średnicy półokręgu wybrano punkt i na odcinkach i jako na średnicach skonstruowano półokręgi i . Odcinek jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów i . Oblicz długość odcinka jeżeli promienie półokręgów i są odpowiednio równe i .

Zadanie 5

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.

Zadanie 6

Przez środek cięciwy okręgu poprowadzono cięciwę , przy czym |CS | = x i |DS | = y . Oblicz długość cięciwy .

Zadanie 7

Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.

Zadanie 8

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .

Zadanie 9

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 1.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest większy niż √ -- 2 + 2 2 .

Zadanie 10

Dwa okręgi o promieniach i ( r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej . Rozważ dwa przypadki.

Wersja PDF