/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 15 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej wzorem
gdzie jest liczbą rzeczywistą. Oblicz wartość , dla której granica ciągu jest równa .
W firmie zatrudniającej 390 pracowników sporządzono zestawienie wszystkich pracowników w wieku przedemerytalnym i okazało się, że wśród nich jest 96 mężczyzn i 45 kobiet. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany mężczyzna pracujący w tej firmie jest w wieku przedemerytalnym jest równe 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem, że jest to kobieta.
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie .
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej oraz dla każdej liczby rzeczywistej , spełniających warunek , prawdziwa jest nierówność
Iloczyn wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem
jest równy . Oblicz .
W trójkącie na boku wybrano takie punkty i , że
Przez punkty i poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta .
Rozwiąż równanie w przedziale .
Informacja do zadań 8.1 i 8.2
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych .
Niech będzie punktem leżącym na wykresie . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie i polu powierzchni bocznej równym . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ma miarę . Objętość tego ostrosłupa jest równa , gdzie jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik .
Rozwiąż nierówność
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: , , , , gdzie liczba rzeczywista spełnia warunki: i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pole tego równoległoboku jest równe 20.
W okrąg o średnicy 16,25 wpisano trójkąt ostrokątny , w którym . Miary kątów i tego trójkąta spełniają warunek
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt .