Zadanie nr 4337229

Wewnątrz kąta o mierze ∘ 60 leży punkt . Odległość tego punktu od ramion kąta wynosi odpowiednio √ -- 4 6 i √ -- 6 . Oblicz odległość tego punktu od wierzchołka kąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku i przyjmijmy oznaczenia √ -- SA = 4 6 , √ -- SB = 6 .

Sposób I

Zauważamy, że jeżeli przedłużmy odcinek tak, aby przeciął drugie ramię kąta, powiedzmy w punkcie , to w otrzymanym trójkącie prostokątnym BES znamy kąt ∡BES = 90∘ − ∡AOE = 30∘ oraz przyprostokatną BS = √ 6- . Możemy więc obliczyć długość przeciwprzyprostokątnej

BS- ∘ 1- √ -- SE = sin 30 = 2 ⇒ SE = 2BS = 2 6.

Teraz już łatwo, mamy √ -- AE = AS + SE = 6 6 . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AOE – znamy w nim jeden kąt i przyprostokątną. Możemy więc policzyć drugą przyprostokątną

√ -- √ -- √ -- OA-- = tg 30∘ = --3- ⇒ OA = --3AE = 6 2. AE 3 3

Pozostało policzyć długość odcinka z trójkąta prostokątnego AOS .

∘ ------------ √ ------------- √ -------- √ --- OS = OA 2 + SA 2 = 36⋅ 2+ 16⋅6 = 2 18 + 24 = 2 42.

Sposób II

Tym razem przyjrzyjmy się czworokątowi AOBS . Ponieważ ma on dwa przeciwległe kąty proste, można na nim opisać okrąg. Dokładniej, okrąg ten to okrąg o średnicy (bo ∡OAS = ∡OBS = 90∘ ). Mmusimy zatem obliczyć średnicę okręgu opisanego na czworokącie AOBS . Jak to zrobić? – najprościej z twierdzenia sinusów, do tego musimy jednak znać bok i przeciwległy kąt w którymkolwiek z trójkątów utworzonych przez wierzchołki tego czworokąta. Chwila zastanowienia i wiadomo co robić – w trójkącie ASB znamy kąt ∡ASB = 180∘ − ∡AOB = 120∘ i łatwo możemy wyliczyć bok . Liczymy (z twierdzenia cosinusów).