Zadanie nr 7651016

Do obszaru kąta ostrego o mierze należy punkt , którego odległości od ramion kąta są równe i . Oblicz odległość punktu od wierzchołka kąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku i przyjmijmy oznaczenia SA = a , SB = b .

Sposób I

Zauważamy, że jeżeli przedłużymy odcinek tak, aby przeciął drugie ramię kąta, powiedzmy w punkcie , to w otrzymanym trójkącie prostokątnym BES znamy kąt ∡BES = 90∘ − α oraz przyprostokątną BS = b . Możemy więc obliczyć długość przeciwprostokątnej

BS- ∘ -BS-- --b-- SE = sin (90 − α) = cos α ⇒ SE = co sα = cos α.

Teraz już łatwo, mamy AE = AS + SE = a+ cbosα . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AOE – znamy w nim jeden kąt i przyprostokątną. Możemy więc policzyć drugą przyprostokątną

OA b acos α+ b ---- = ctg α ⇒ OA = (a + -----) ctg α = ----------. AE cos α sin α

Pozostało policzyć długość odcinka z trójkąta prostokątnego AOS .

∘ ------------------------------ ∘ ------------ 2 2 2 OS = OA 2 + SA 2 = a--cos-α-+-2ab-cos-α+--b-+ a2 = sin 2α ∘ ------------------------------------ √ ------------------- a2co-s2α-+-2ab-cosα-+--b2 +-a2-sin-2α --a2-+-2ab-cosα-+-b2- = sin2α = sinα

Sposób II

Tym razem przyjrzyjmy się czworokątowi AOBS . Ponieważ ma on dwa przeciwległe kąty proste, można na nim opisać okrąg. Dokładniej, okrąg ten to okrąg o średnicy (bo ∘ ∡OAS = ∡OBS = 90 ). Musimy zatem obliczyć średnicę okręgu opisanego na czworokącie AOBS . Jak to zrobić? – najprościej z twierdzenia sinusów, do tego musimy jednak znać bok i przeciwległy kąt w którymkolwiek z trójkątów utworzonych przez wierzchołki tego czworokąta. Chwila zastanowienia i wiadomo co robić – w trójkącie ASB znamy kąt ∡ASB = 180∘ − α i łatwo możemy wyliczyć bok . Liczymy (z twierdzenia cosinusów).