/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Matura próbna

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 1 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Dane są liczby a = log 2 3 oraz b = log 5 2 . Wyraź log 1 25 9 za pomocą a oraz b .

Informacja do zadań 2.1 i 2.2

Funkcja f określona jest wzorem

||1 ( 11) || f(x ) = ||-(x + 2)2 x − --- || 3 2

dla każdego x ∈ R . Pochodna funkcji f w punkcie x = 3 jest równa 0.

Zadanie 2.1
(3 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale [− 4 ,4 ] .

Zadanie 2.2
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 1 f(x ) = 3 + |m + 1| ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.

Zadanie 3
(2 pkt)

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są trzy kule czarne i cztery kule białe, w drugiej urnie są dwie kule czarne i pięć białych. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu wylosujemy kulę białą.

Zadanie 4
(3 pkt)

Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.

Zadanie 5
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność

1 1 1 1+ --+ ---+ ---+ ...≤ 2, x x2 x3

gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego.

Zadanie 6
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

2 2 3 2 3 m x + (m − 3m )x − 3m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 spełniające warunek

x31x2-+-x1x-32 15- x1 + x2 ≤ 2 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

√ -- √ -- 6co sx + 2 3 sin x + --3- + 3 = 0 . tg x

Zadanie 8
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | , a punkt D jest środkiem podstawy AB . Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC . Punkt K leży na boku AC , punkt L leży na boku BC , odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |AK | = |BL | = |KC | (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Zadanie 9
(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt C = (7,− 2) jest wierzchołkiem trójkąta ABC . Prosta k o równaniu y + 2x + 3 = 0 zawiera dwusieczną kąta BAC tego trójkąta. Okrąg O o równaniu (x+ 1)2 + (y + 1 )2 = 16 jest wpisany w ten trójkąt. Wyznacz współrzędne wierzchołków A i B trójkąta ABC .

Zadanie 10
(6 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF , którego podstawą jest trójkąt ABC o kątach |∡CAB | = α i |∡CBA | = β . Przekątne CE i CD ścian bocznych tworzą kąt o mierze δ takiej, że 40 tgδ = 9- (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta CED jest równe 4, a pole trójkąta CBA jest równe 12 tg(α + β ) . Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

Zadanie 11
(7 pkt)

Budżet przeznaczony na ogrodzenie pewnej działki w kształcie trójkąta równoramiennego ABC (|AC | = |BC | ) wynosi 12 000 zł.

PIC

Ze względu na warunki terenowe, koszt wykonania 1 metra bieżącego ogrodzenia jest różny dla każdego z boków trójkąta ABC i wynosi odpowiednio: 140 zł dla boku AC , 100 zł dla boku BC i 360 zł dla boku AB . Oblicz jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby odgradzało ono działkę o największym możliwym polu powierzchni. Wymiary podaj z dokładnością do 1 metra.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania