/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Polygon matematyczny

Planimetria – okręgi poziom rozszerzony

Zadanie 1

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C . Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |∡AP C | = α i |∡ABC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180∘ − 2β .


PIC


Zadanie 2

Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary  ∘ ∘ |∡CAB | = 42 , |∡ABC | = 78 . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .


PIC


Zadanie 3

Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C i D w ten sposób, że prosta AB zawiera punkt S , a proste AD i BC przecinają się w punkcie E . Punkt M jest punktem wspólnym prostych AC i BD . Wykaż, że proste EM i AB są prostopadłe.


PIC


Zadanie 4

Na średnicy AB półokręgu o3 wybrano punkt C i na odcinkach AC i CB jako na średnicach skonstruowano półokręgi o1 i o2 . Odcinek CD jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka CD jeżeli promienie półokręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 .


PIC


Zadanie 5

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN , przy czym punkt M należy do pierwszego, a punkt N do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Zadanie 6

Przez środek S cięciwy AB okręgu poprowadzono cięciwę CD , przy czym |CS | = x i |DS | = y . Oblicz długość cięciwy AB .

Zadanie 7

Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.

Zadanie 8

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

Zadanie 9

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 1.


PIC


Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest większy niż  √ -- 2 + 2 2 .

Zadanie 10

Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta k nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej k . Rozważ dwa przypadki.

Wersja PDF
spinner