/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Polygon matematyczny

Planimetria – czworokąty poziom rozszerzony

Zadanie 1

Prosta przechodząca przez wierzchołek kwadratu ABCD przecina przedłużenia jego boków i odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek).

Wykaż, że

--1---+ --1---= --1---. |CL |2 |CK |2 |AB |2

Zadanie 2

W trapezie ABCD długość podstawy jest równa 18, a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2|GD | = 4 , to promień okręgu jest równy 8 − 4√ 2- .

Zadanie 4

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę ∘ 60 . Na bokach i tego rombu wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że 1 |BE | = |AF | = 3|AB | . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

Wykaż, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie BCD .

Zadanie 5

W trapezie ABCD połączono środek ramienia trapezu z końcami drugiego ramienia . Wykaż, że pole powstałego trójkąta BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD .

Zadanie 6

W czworokącie wypukłym ABCD kąty przy wierzchołkach i są proste (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta przy wierzchołku jeżeli |AC | = 1 ,3 |BD | .

Zadanie 7

Sinus kąta jaki tworzą przekątne prostokąta o polu 60 jest równy 15 17 . Oblicz obwód tego prostokąta.

Zadanie 8

Kąt ostry równoległoboku ma miarę ∘ 6 0 . Stosunek kwadratów długości przekątnych jest równy 1 3 . Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.

Zadanie 9

W półkole o promieniu wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości . Oblicz długość przekątnej trapezu.

Zadanie 10

Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu.

Zadanie 11

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

Zadanie 12

Trapez równoramienny ABCD jest opisany na okręgu o promieniu . Przekątna trapezu tworzy z dłuższą podstawą kąt . Wyznacz obwód tego trapezu.

Zadanie 13

W dany trapez można wpisać okrąg i jednocześnie można na tym trapezie opisać okrąg. Wysokość tego trapezu jest równa 8, a jego kąt ostry ma miarę 30 ∘ . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie.

Zadanie 14

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 5 2 . Przekątna tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne BAD i ADC czworokąta ABCD są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy 3 8 . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Wersja PDF