/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Polygon matematyczny

Planimetria – trójkąty poziom rozszerzony

Zadanie 1

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Wykaż, że pole trójkąta DEF jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC .


PIC


Zadanie 2

Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Bok BC jest o 4 cm krótszy od boku AB oraz |AC | = 8 cm . Oblicz pole trójkąta ABC oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 3

Na okręgu o promieniu 1 opisano trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości x i y .

  • Wyznacz y jako funkcję x i określ dziedzinę tej funkcji.
  • Sporządź wykres tej funkcji.

Zadanie 4

W trójkącie ostrokątnym ABC wysokości AD i BE przecinają się w punkcie S . Wiadomo, że |AD |+ |BE | = 20 , |AS | = 8 , |BS | = 4 . Wyznacz długości odcinków DS i ES .

Zadanie 5

W trójkąt równoramienny ABC (|AC | = |BC | ) o długości podstawy |AB | = 12 cm wpisano kwadrat o boku długości 5 cm. Oblicz pole trójkąta ABC .


PIC


Zadanie 6

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Wykaż, że jeżeli |ST | = 1|AB | 2 , to |AM | = |CN | .

Zadanie 7

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Zadanie 8

Wyraź pole trójkąta w zależności od długości jednego z jego boków i miar kątów doń przyległych.

Zadanie 9

Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC , w którym ∡ACB ma miarę 120∘ . Ponadto wiadomo, że |BC | = 10 i  -- |AB | = 10√ 7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC .


PIC


Zadanie 10

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC . Punkty D i E dzielą przeciwprostokątną AB na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta DCE .

Zadanie 11

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AC dane są: |AC | = 4 oraz  ∘ |∡ABC | = 36 . Odcinek AD jest odcinkiem dwusiecznej kąta BAC (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz długość odcinka CD .

Zadanie 12

W trójkącie ABC długości boków AB i AC są odpowiednio równe 4 i 6, a długość środkowej  ′ AA jest równa √ --- 10 . Oblicz długość boku BC .

Zadanie 13

Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach P 1,P2 i P3 (zobacz rysunek)


PIC


Wykaż, że P 1 + P 2 > 12P3 .

Zadanie 14

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że  1 |BD | = |AE | = 3|AB | . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF
spinner