Zadanie nr 4684596

Ze zbioru {− 2n,− (2n − 1 ),...,− 1 ,0 ,1,...,2n − 1,2n} losujemy ze zwracaniem dwie liczby: i . Rozważmy zdarzenia
: a + b jest liczbą parzystą;
: |a| + |b| ≤ 2n .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia P(A ∩ B) .

Rozwiązanie

Ponieważ losujemy ze zwracaniem wygodnie będzie nam myśleć o parach (a,b) . W podanym zbiorze jest 4n + 1 liczb, więc

|Ω | = (4n+ 1)⋅ (4n + 1) = (4n + 1)2.

Pozostało teraz policzyć ile jest par (a,b) spełniających podane dwa warunki.

Sposób I

Policzmy ile jest takich par, patrząc na kolejne możliwe wartości .
Jeżeli a = ±2n to musi być b = 0 , czyli mamy dwie pary.
Jeżeli a = ±(2n − 1) to musi być b = ± 1 (bo suma ma być parzysta i suma wartości bezwzględnych ma być nie większa od ), czyli mamy cztery takie pary (mamy dwie możliwości wyboru znaku na każdej współrzędnej).
Jeżeli a = ±(2n − 2) to musi być b = 0 lub b = ± 2 . Daje to nam 6 par: dwie z b = 0 , i 4 z .
Jeżeli a = ± (2n − 3) to musi być b = ±1 lub b = ±3 . Daje nam to 2 ⋅2 ⋅2 = 8 możliwości (wybieramy znak przy pierwszej liczbie, znak przy drugiej liczbie i jeszcze drugą liczbę).

Powinno być już widać co jest grane, ale sprawdźmy ogólnie dla a = ±(2n − k) .

Jeżeli jest parzyste i k < 2n , to może być jedną z liczb 0 ,±2 ,...,±k . Daje nam to

2 ⋅(k + 1) = 2k + 2

(pierwsza dwójka to wybór znaku przy , k + 1 to liczba możliwości wyboru ).

Jeżeli natomiast jest nieparzyste to jest jedną z liczb ± 1,± 3,...,±k . Mamy

2 ⋅(k + 1) = 2k + 2

takich par (bo liczb 1,3,...,k jest k+21- ).

Popatrzmy jeszcze osobno co się dzieje dla a = 0 . Wtedy jest dowolną liczbą parzystą z danego zbioru, więc jest 2n + 1 takich par.

W sumie mamy więc

2 + 4+ 6+ ⋅⋅⋅+ (2 (2n− 1)+ 2)+ 2n + 1 = 1+--2n- = 2(1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ 2n) + 2n + 1 = 2⋅ 2 ⋅(2n) + 2n + 1 = = (2n + 1)(2n )+ 2n + 1 = (2n + 1)(2n + 1) = (2n + 1 )2.

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

( ) (2n-+-1)2- 2n-+-1- 2 P = (4n + 1)2 = 4n + 1 .

Sposób II

Największy problem w powyższym rachunku to zabawa z możliwymi znakami wylosowanych liczb. Można jednak łatwo się tego problemu pozbyć, jeżeli będziemy liczyć trochę sprytniej. Pomysł jest taki, żeby policzyć pary z dodatnimi liczbami, a potem uwzględnić możliwe wybory znaków. Aby się nie pogubić rozważmy niektóre sytuacje osobno.

Jest jedna para z dwoma zerami: (0,0) .

Jeżeli dokładnie jedna z liczb lub jest zero, to liczba niezerowa musi być parzysta i mamy możliwości (nie może być 0!). Musimy jednak tę liczbę pomnożyć przez 2, co odpowiada wyborowi, która współrzędna ma być równa 0. W sumie jest więc liczb z jednym zerem.

Całą resztę jest już dość łatwo policzyć. Będziemy liczyć pary (a,b) gdzie a,b > 0 , a potem wynik przemnożymy przez 4 (co odpowiada możliwym zmianom znaków). Liczbę możemy wybrać na sposobów (od 1 do ). Policzmy ile można do niej dobrać liczb .