Zadanie nr 9284778

Listonosz losowo rozmieszcza 7 listów w 5 różnych skrzynkach na listy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej jeden list.

Rozwiązanie

O zdarzeniach elementarnych myślimy jak o ciągach numerów skrzynek, do których traﬁły kolejne listy. Mamy zatem

|Ω | = 5⋅ 5⋅5 ⋅⋅⋅5 = 57

(każdy list może traﬁć do jednej z pięciu skrzynek).

W zdarzeniach sprzyjających mamy dwie możliwości: albo w jednej ze skrzynek są trzy listy, a w każdej z pozostałych po jednym liście, albo też w dwóch skrzynkach są dwa listy, a we wszystkich pozostałych po jednym liście. Policzmy osobno liczbę zdarzeń w każdym z tych przypadków.

Sposób I

Załóżmy, że w jednej ze skrzynek są trzy listy. Skrzynkę tę możemy wybrać na 5 sposobów. Ponadto mamy

( 7) 7⋅ 6⋅5 = -------= 35 3 3!

możliwości wyboru trzech listów, które będą w tej skrzynce. Pozostałe 4 listy umieszczamy w pozostałych 4 skrzynkach, tak, aby w każdej skrzynce był jeden list – można to zrobić na 4! = 24 sposoby. W sumie jest więc

5⋅35 ⋅24

ciągów, w których trzy listy znalazły się w jednej skrzynce.

Zajmijmy się teraz sytuacją, gdy są dwie skrzynki zawierające dwa listy. Dwie skrzynki możemy wybrać na

( ) 5 = 5-⋅4 = 1 0 2 2

sposobów. Potem wybieramy 4 listy, które znajdą się w tych skrzynkach. Możemy to zrobić na

( ) ( ) 7 7 7⋅6-⋅5- 4 = 3 = 3! = 35

sposobów. Musimy jeszcze ustalić, które dwa z tych czterech listów traﬁą do pierwszej z wybranych skrzynek. Możemy to zrobić na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów. (Cztery listy, które mają traﬁć do dwóch wyróżnionych skrzynek mogliśmy też wybrać inaczej: najpierw dwa do pierwszej skrzynki na (72) = 21 sposobów, a potem dwa do drugiej na 5 = 10 (2) sposobów.)

Na koniec pozostałe 3 listy dowolnie permutujemy pomiędzy 3 pozostałymi skrzynkami. W tym przypadku jest więc

10 ⋅35 ⋅6⋅ 6

możliwości.

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

5 ⋅35 ⋅24 + 10 ⋅35 ⋅6 ⋅6 7 ⋅24 + 2 ⋅7 ⋅6⋅ 6 672 ------------7----------- = ---------5-------- = -----. 5 5 31 25

Sposób II

Załóżmy, że w jednej ze skrzynek są trzy listy. Skrzynkę tę możemy wybrać na 5 sposobów. Teraz umieszczamy listy w skrzynkach. Najpierw wkładamy listy do skrzynek, w których ma być jeden list: do pierwszej wkładamy jeden z 7 listów, do drugiej jeden z 6 pozostałych, do trzeciej jeden z 5 i do czwartej jeden z 4. Przy ostatniej skrzynce (w której mają być 3 listy) nie mamy już wyboru i wkładamy do niej pozostałe 3 listy. Jest więc

5⋅ 7⋅6 ⋅5 ⋅4

ciągów, w których trzy listy znalazły się w jednej skrzynce.

Zajmijmy się teraz sytuacją, gdy są dwie skrzynki zawierające dwa listy. Dwie skrzynki możemy wybrać na

( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów. Teraz wkładamy do skrzynek listy. Tak jak poprzednio, najpierw wkładamy listy do skrzynek, w których ma być jeden list – możemy to zrobić na