/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/1 literka

Zadanie nr 2007755

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x 2 + 1 ≥ 2x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dana nierówność to zwykła nierówność kwadratowa

2 x − 2x + 1 ≥ 0.

Sposób I

Lewa strona nierówności to pełen kwadrat, więc możemy ją zapisać w postaci

2 (x − 1) ≥ 0.

Teraz jest jasne, że nierówność ta jest zawsze spełniona.

Sposób II

Liczmy Δ -ę.

Δ = 4 − 4 = 0.

To oznacza, że wykresem lewej strony jest parabola o ramionach skierowanych w górę, która jest styczna do osi Ox . To oznacza, że lewa strona nie przyjmuje wartości ujemnych, czyli rzeczywiście

x2 − 2x + 1 ≥ 0.
Wersja PDF