/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/2 literki

Zadanie nr 1429594

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y prawdziwa jest nierówność

( ) 2 2 2 1- 4- x-+--4y-- 5 x+ 5y < 5 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

( ) 2 2 2 1x + 4y < x--+-4y-- 5 5 5 x2 8xy 16y 2 x2 + 4y 2 ---+ ---- + -----< --------- / ⋅25 25 25 25 5 x2 + 8xy + 16y2 < 5x2 + 20y2 2 2 0 < 4x − 8xy + 4y / : 4 0 < x2 − 2xy + y2 0 < (x − y)2.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF