Zadanie nr 1840172
Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,
![2 4 x--+-y--≥ x + y2 − 1 / ⋅2 2 x2 + y4 ≥ 2x + 2y 2 − 2 2 4 2 (x − 2x + 1)+ (y − 2y + 1) ≥ 0 (x− 1)2 + (y2 − 1)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/1840172/HzadR0x.gif)
Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.
Sposób II
Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić
![2 4 2 x − 2x + (y − 2y + 2) ≥ 0](https://img.zadania.info/zad/1840172/HzadR1x.gif)
jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą i parametrem
. Liczymy
-ę.
![Δ = 4− 4(y 4− 2y2 + 2) = 4 − 4y4 + 8y2− 8 = − 4(y4− 2y2+ 1) = − 4(y2− 1)2.](https://img.zadania.info/zad/1840172/HzadR5x.gif)
Ponieważ jest niedodatnia, powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony nie schodzi poniżej osi
).