Zadanie nr 2502546
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej
takich, że
, prawdziwa jest nierówność
![(3x + y)(x+ 3y) > 16xy .](https://img.zadania.info/zad/2502546/HzadT3x.png)
Rozwiązanie
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
![(3x + y)(x + 3y) > 1 6xy 3x 2 + 9xy + xy + 3y 2 − 1 6xy > 0 3x 2 − 6xy + 3y2 > 0 / : 3 2 2 x − 2xy + y > 0 (x − y)2 > 0.](https://img.zadania.info/zad/2502546/HzadR0x.png)
Ponieważ z założenia , więc otrzymana nierówność jest prawdziwa. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.