/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/2 literki

Zadanie nr 3807633

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x2 + y2 + 5 > 2x + 4y .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,

2 2 x + y + 5 > 2x + 4y (x2 − 2x + 1) + (y2 − 4y + 4) > 0 2 2 (x − 1) + (y − 2) > 0.

Oczywiście nierówność ta jest spełniona (bo x ⁄= 1 ), a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić

y2 − 4y + (x2 − 2x + 5 ) > 0

jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą y i parametrem x . Liczymy Δ –ę.

2 2 Δ = 1 6− 4 (x − 2x+ 5) = 16 − 4x + 8x − 20 = = − 4(x 2 − 2x + 1) = − 4(x − 1)2.

Ponieważ Δ jest ujemna (bo x ⁄= 1 ), powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi Ox ).

Wersja PDF