Zadanie nr 4362960

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej większej od 1 prawdziwa jest nierówność 2x2 + 4y 2 + 1 > 4xy + 3y .

Rozwiązanie

Musimy udowodnić nierówność

2 2 2x − 4xy + 4y − 3y+ 1 > 0.

Sposób I

Zauważmy, że lewą stronę nierówności możemy zapisać w postaci

2x2 − 4xy + 4y 2 − 3y + 1 = 2(x2 − 2xy + y 2)+ 2y 2 − 3y + 1 = = 2(x − y)2 + (2y2 − 3y + 1).

Wystarczy teraz uzasadnić, że wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie. Rozkładamy je na czynniki

Δ = 9− 8 = 1 3-−-1- 1- 3+--1- y = 4 = 2 lub y = 4 = 1.

Zatem

( 1 ) 2y2 − 3y + 1 = 2 y − -- (y− 1) 2

i widać, że wyrażenie to jest dodatnie dla y > 1 .

Sposób II

Tak jak poprzednio przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci

2 2 2 2 2x − 4xy + 4y − 3y + 1 = 2(x− y) + (2y − 3y+ 1).

Dodatniość wyrażenia w drugim nawiasie dowodzimy jednak inaczej – sprowadzając ten trójmian do postaci kanonicznej

( ) 2y2 − 3y+ 1 = 2 y 2 − 3y + 1- = 2 2 ( ) ( )2 = 2 y 2 − 2 ⋅ 3-y+-9- − 1-= 2 y − 3- − 1-. 4 16 8 4 8

Jeżeli y > 1 , to

( 3) 2 1 ( 3 ) 2 1 ( 1) 2 1 1 1 2 y − -- − --> 2⋅ 1 − -- − --= 2 ⋅ -- − --= -− --= 0. 4 8 4 8 4 8 8 8

Sposób III

Zapiszmy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową zmiennej

f(x ) = 2x2 − 4y ⋅x + (4y2 − 3y + 1) 2 2 2 2 Δ = 16y − 8(4y − 3y + 1 ) = 8(2y − 4y + 3y − 1) = = − 8(2y2 − 3y + 1) = − 8(2y − 1)(y− 1).

Widać teraz, że Δ < 0 dla y > 1 , czyli w tej sytuacji

f(x) > 0

dla każdej wartości .