/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/2 literki

Zadanie nr 4628017

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

a2 + b2 + 1 ≥ a+ b+ ab .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 a + b + 1 ≥ a + b + ab / ⋅2 2a 2 + 2b 2 + 2− 2a − 2b − 2ab ≥ 0 2 2 2 2 (a − 2a + 1 )+ (b − 2b + 1) + (a − 2ab + b ) ≥ 0 (a − 1 )2 + (b − 1)2 + (a − b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy daną nierówność

2 2 a − a(1 + b)+ (b − b+ 1) ≥ 0

Jako zwykłą nierówność kwadratową zmiennej a . Liczymy Δ -ę.

2 2 2 2 Δ = (1+ b ) − 4(b − b + 1) = 1+ 2b + b − 4b + 4b − 4 = = −3b 2 + 6b − 3 = − 3(b2 − 2b+ 1) = − 3(b − 1)2 ≤ 0.

Ponieważ Δ jest zawsze niedodatnia, wykres trójmianu będącego lewą stroną nierówności nie schodzi poniżej osi Ox (może być styczny do osi Ox ). Zatem rzeczywiście

a2 − a(1+ b)+ (b 2 − b + 1) ≥ 0 .
Wersja PDF