Zadanie nr 5387253
Wykaż, że jeżeli , to
.
Rozwiązanie
Sposób I
Podstawiamy w nierówności, która mamy wykazać i przekształcamy ją w sposób równoważny.
![25 x2 + (5− x)2 ≥ --- / ⋅2 2 2x2 + 50 − 20x + 2x 2 ≥ 25 2 4x − 20x + 25 ≥ 0 (2x − 5)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/5387253/HzadR1x.gif)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Korzystamy z nierówności
![∘ -------- x2 + y2 x + y --------≥ ------ 2 2](https://img.zadania.info/zad/5387253/HzadR2x.gif)
pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną. Mamy zatem
![2 2 ( )2 x-+--y--≥ x-+-y- = 25- 2 2 4 2 2 25 x + y ≥ ---. 2](https://img.zadania.info/zad/5387253/HzadR3x.gif)