Zadanie nr 5490755
Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Daną nierówność możemy zapisać w postaci
![2 2 x + y ≥ x--+-y--+-2- / ⋅(− 2) − 2 − 2x− 2y ≤ x 2 + y2 + 2 2 2 0 ≤ x + y + 2 + 2x + 2y](https://img.zadania.info/zad/5490755/HzadR0x.gif)
Sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny,
![2 2 0 ≤ x + y + 2 + 2x + 2y 0 ≤ (x 2 + 2x + 1)+ (y2 + 2y + 1) 2 2 0 ≤ (x + 1 ) + (y + 1) .](https://img.zadania.info/zad/5490755/HzadR1x.gif)
Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.
Sposób II
Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić
![0 ≤ x 2 + 2x + (y2 + 2y+ 2)](https://img.zadania.info/zad/5490755/HzadR2x.gif)
jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą i parametrem
. Liczymy
-ę.
![Δ = 4− 4(y 2+ 2y + 2) = 4 − 4y2 − 8y− 8 = − 4(y2 + 2y+ 1) = − 4(y+ 1)2.](https://img.zadania.info/zad/5490755/HzadR6x.gif)
Ponieważ jest niedodatnia, powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi
).