Zadanie nr 5838004

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność 5x2 − 6xy + 3y 2 − 2x − 4 > 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że lewą stronę nierówności możemy zapisać w postaci

2 2 2 2 2 5x − 6xy + 3y − 2x − 4 = 3(x − 2xy + y ) + 2x − 2x − 4 = = 3(x − y)2 + 2(x2 − x − 2).

Wystarczy teraz uzasadnić, że wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie. Rozkładamy je na czynniki

Δ = 1 + 8 = 9 1 − 3 1 + 3 x = ------= − 1 lub x = ------= 2. 2 2

Zatem

x2 − x − 2 = (x + 1)(x− 2)

i widać, że wyrażenie to jest dodatnie dla x > 2 .

Sposób II

Tak jak poprzednio przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci

2 2 2 2 5x − 6xy + 3y − 2x− 4 = 3(x − y) + 2(x − x − 2).

Dodatniość wyrażenia w drugim nawiasie dowodzimy jednak inaczej – sprowadzając ten trójmian do postaci kanonicznej

( )2 x2 − x− 2 = x − 1- − 9-. 2 4

Jeżeli x > 2 , to

( ) ( ) ( ) 1 2 9 1 2 9 3 2 9 9 9 x − -- − --> 2− -- − --= -- − --= --− --= 0. 2 4 2 4 2 4 4 4

Sposób III

Zapiszmy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową zmiennej

2 2 f(y) = 3y − 6xy + (5x − 2x − 4) Δ = 3 6x2 − 12(5x2 − 2x − 4 ) = 12(3x2 − 5x2 + 2x + 4 ) = 2 = − 2 4(x − x− 2) = − 24(x + 1)(x − 2 ).

Widać teraz, że Δ < 0 dla x > 2 , czyli

f(y) > 0

dla każdej wartości .