/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/2 literki

Zadanie nr 7918772

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 4a2 + 3b2 ≥ 4ab .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

4a2 + 3b2 ≥ 4ab 2 2 2 4a − 4ab + b + 2b ≥ 0 (2a− b)2 + 2b2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

2 2 4a − 4b ⋅a + 3b ≥ 0

jak nierówność kwadratową zmiennej a z parametrem b . Współczynnik przy a2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego b ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

Δ = (4b)2 − 48b2 = −3 2b2 < 0,

więc parabola ta znajduje się w całości powyżej osi Oa . To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich możliwych wartości a i b .

Sposób III

Jeżeli b = 0 to mam nierówność

2 4a ≥ 0,

która jest oczywiście spełniona. Załóżmy zatem, że b ⁄= 0 . Możemy wtedy daną nierówność podzielić przez 2 b .

2 2 2 4a − 4ab + 3b ≥ 0 / : b (a )2 a 4 b- − 4 ⋅b-+ 3 ≥ 0 .

Jeżeli podstawimy teraz t = a b , to musimy udowodnić, że

4t2 − 4t + 3 ≥ 0 .

Ponieważ Δ = 16 − 48 = − 32 < 0 nierówność ta jest rzeczywiście zawsze prawdziwa.

Wersja PDF