/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/2 literki

Zadanie nr 9590514

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność a2 + b2 ≥ 2(a + b − 1) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,

2 2 a + b ≥ 2 (a+ b − 1 ) (a 2 − 2a + 1) + (b2 − 2b + 1) ≥ 0 2 2 (a − 1) + (b − 1) ≥ 0.

Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić

a2 − 2a + (b2 − 2b + 2) ≥ 0

jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą a i parametrem b . Liczymy Δ -ę.

2 2 2 2 Δ = 4− 4(b − 2b + 2) = 4 − 4b + 8b− 8 = − 4(b − 2b+ 1 ) = − 4(b− 1 ) .

Ponieważ Δ jest niedodatnia, powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi Ox ).

Wersja PDF