/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe/3 literki

Zadanie nr 6032703

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y ,z takich, że x + y + z = 0 , prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤ 0 .
Możesz skorzystać z tożsamości (x+ y+ z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystając z podanej tożsamości mamy

2 2 2 2 2 2 2 xy + xz+ yz = (x-+-y-+-z-)-−-x--−-y--−-z- = −x--−--y-−--z-. 2 2

Otrzymane wyrażenie jest oczywiście zawsze niedodatnie.

Sposób II

Zauważmy najpierw, że przynajmniej dwie z liczb x,y ,z mają różne znaki (lub są równe 0). Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że tę własność mają liczby x i y , tzn. xy ≤ 0 . Korzystając z warunku x+ y+ z = 0 będziemy przekształcać lewą stronę nierówności.

xy + yz+ zx = xy + y (−x − y)+ (−x − y)x = 2 2 2 = −x − y − xy = − (x+ y) + xy.

Zauważmy teraz, że na mocy założenia xy ≤ 0 otrzymane wyrażenie jest zawsze niedodatnie.

Wersja PDF