/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 3816623

Na czworokącie wypukłym ABCD można opisać okrąg. Wiadomo, że √ -- √ -- |AB | = |BC |, |AD | = 2 3, |DC | = 3− 3 oraz przekątna √ -- |AC | = 3 2 . Oblicz pole tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy, że podane długości boków trójkąta ACD pozwalają obliczyć cosinus kąta D . Aby to zrobić piszemy twierdzenie cosinusów.

AC 2 = AD 2 + CD 2 − 2AD ⋅CD cos ∡D √ --2 √ -- √ -- 18 = 12 + (3 − 3) − 2 ⋅2 3⋅ (3− 3)cos ∡D √ -- √ -- 6 = 9− 6 3 + 3√ −-4(3 3 − 3) cos∡D 6 3 − 6 2 1 cos ∡D = − ---√--------= − --= − -. 4(3 3− 3) 4 2

To oznacza, że ∘ ∡D = 120 . Możemy teraz obliczyć pole trójkąta ACD

P = 1-⋅AD ⋅CD ⋅sin12 0∘ = ACD 2 1 √ -- √ -- √ 3- 9 − 3√ 3- = --⋅2 3⋅(3 − 3 )⋅----= ---------. 2 2 2

Patrzymy teraz na trójkąt ABC . Jest to trójkąt równoramienny, oraz

∡B = 180 ∘ − ∡D = 60 ∘.

Jest to więc trójkąt równoboczny o boku długości √ -- AC = 3 2 . Liczymy jego pole

√ -- √ -- √ -- a2 3 18 3 9 3 PABC = ------= ------= ----. 4 4 2

Pole czworokąta ABCD jest więc równe

√ -- √ -- √ -- PABCD = PACD + PABC = 9−--3--3-+ 9---3 = 9-+-6--3-. 2 2 2

 
Odpowiedź: 9+ 6√3 ---2--

Wersja PDF