Zadanie nr 3949675
W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt . Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że
,
i stosunek pola trójkąta
do pola trójkąta
wynosi 2:1.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Ponieważ suma przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg wynosi , więc
![∡B = 180 ∘ − ∡D = 60 ∘.](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR2x.gif)
Ale w takiej sytuacji trójkąt musi być równoboczny (bo jest równoramienny, więc pozostałe jego kąty też są równe
). Od razu obliczmy długość
jego boku. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to
jego wysokości, czyli
![√ -- √ -- 2⋅ a--3-= 7 ⇒ a = 7√⋅3-= 7 3. 3 2 3](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR7x.gif)
Zatem pole tego trójkąta jest równe
![√ -- √ -- √ -- a2--3- 49-⋅3--3- 147--3- PABC = 4 = 4 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR8x.gif)
Ok, teraz pora zabrać się za trójkąt . Zauważmy, że
![∘ ∡ADB = ∡ACB = 60 ∡CDB = ∡CAB = 60∘.](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR10x.gif)
Zatem podany warunek o stosuku pól możemy zapisać w postaci
![PABD-- 12DA---⋅DB--sin-60∘- DA-- 2 = P = 1DC ⋅ DB sin 60∘ = DC . BCD 2](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR11x.gif)
Oznaczmy – długość tego odcinka możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie
.
![2 2 2 ∘ AC = DA + DC − 2DA ⋅DC co s120 49⋅ 3 = 4x2 + x2 + 2x2 49⋅ 3 = 7x2 2 √ --- 7⋅3 = x ⇒ x = 21.](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR14x.gif)
Możemy teraz wyliczyć obwód czworokąta :
![√ -- √ --- Ob = 2a + 3x = 1 4 3+ 3 21](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR16x.gif)
Pozostało policzyć pole trójkąta .
![√ -- √ -- P = 1-DA ⋅DC sin 120 ∘ = 2--3-x2 = 42---3. CDA 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR18x.gif)
Zatem pole czworokąta jest równe
![√ -- √ -- √ -- PABCD = PABC + PCDA = 147--3-+ 42--3-= 189--3-. 4 4 4](https://img.zadania.info/zad/3949675/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: Obwód: , pole: