/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 4890981

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB | = 2 , √ -- |BC | = 3 , |CD | = 3 , |DA | = 4 i |∡DAB | = 60 ∘ . Oblicz pole tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zwykle, zacznijmy od schematycznego rysunku.

PIC

Plan rozwiązania zadania jest następujący. Aby obliczyć pole czworokąta, podzielimy go na dwa trójkąty (przekątną DB ). Pole każdego z nich obliczymy ze wzoru

1- P Δ = 2 absin γ,

gdzie γ – kąt między bokami a i b . Jedyna rzecz, której nam brakuje, to miara kąta przy wierzchołku C . Będziemy mogli go wyliczyć z twierdzenia kosinusów, jeżeli będziemy znali długość BD , a tę możemy wyliczyć znowu z twierdzenia kosinusów, ale w trójkącie ABD .

No dobrze, skoro wszystko już wiemy, to do dzieła. Liczymy BD :

2 2 2 BD = AD + AB − 2 ⋅AD ⋅AB ⋅cos ∡A BD 2 = 1 6+ 4 − 1 6cos 60∘ 2 1- BD = 2 0− 1 6⋅ 2 BD 2 = 1 2 √ -- BD = 2 3.

Liczymy teraz cos ∡C :

2 2 2 BD = CB + C√D-- − 2CB ⋅CD cos ∡C 12 = 3 + 9 − 6 3 cos∡C √ -- 0 = 6 3 cos∡C ∡C = 90 ∘.

Jak już wiemy co wyszło, to wiemy, że można było to wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale to przegapiliśmy, trudno. Teraz bez trudu liczymy szukane pola

PABD = 1-⋅4⋅2 ⋅sin 60∘ 2√ -- PABD = 2 3 √ -- P = 1⋅ 3⋅ 3 BCD 2 3√ -- PBCD = 2 3 PABCD = PABD + PBCD √ -- 3√ -- PABCD = 2 3+ 2 3 7√ -- PABCD = -- 3. 2

 
Odpowiedź: 7√ -- 2 3

Wersja PDF