Zadanie nr 4890981
W czworokącie wypukłym dane są:
,
,
,
i
. Oblicz pole tego czworokąta.
Rozwiązanie
Jak zwykle, zacznijmy od schematycznego rysunku.
Plan rozwiązania zadania jest następujący. Aby obliczyć pole czworokąta, podzielimy go na dwa trójkąty (przekątną ). Pole każdego z nich obliczymy ze wzoru
![1- P Δ = 2 absin γ,](https://img.zadania.info/zad/4890981/HzadR2x.gif)
gdzie – kąt między bokami
i
. Jedyna rzecz, której nam brakuje, to miara kąta przy wierzchołku
. Będziemy mogli go wyliczyć z twierdzenia kosinusów, jeżeli będziemy znali długość
, a tę możemy wyliczyć znowu z twierdzenia kosinusów, ale w trójkącie
.
No dobrze, skoro wszystko już wiemy, to do dzieła. Liczymy :
![2 2 2 BD = AD + AB − 2 ⋅AD ⋅AB ⋅cos ∡A BD 2 = 1 6+ 4 − 1 6cos 60∘ 2 1- BD = 2 0− 1 6⋅ 2 BD 2 = 1 2 √ -- BD = 2 3.](https://img.zadania.info/zad/4890981/HzadR10x.gif)
Liczymy teraz :
![2 2 2 BD = CB + C√D-- − 2CB ⋅CD cos ∡C 12 = 3 + 9 − 6 3 cos∡C √ -- 0 = 6 3 cos∡C ∡C = 90 ∘.](https://img.zadania.info/zad/4890981/HzadR12x.gif)
Jak już wiemy co wyszło, to wiemy, że można było to wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale to przegapiliśmy, trudno. Teraz bez trudu liczymy szukane pola
![PABD = 1-⋅4⋅2 ⋅sin 60∘ 2√ -- PABD = 2 3 √ -- P = 1⋅ 3⋅ 3 BCD 2 3√ -- PBCD = 2 3 PABCD = PABD + PBCD √ -- 3√ -- PABCD = 2 3+ 2 3 7√ -- PABCD = -- 3. 2](https://img.zadania.info/zad/4890981/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: