Zadanie nr 5599713
Na czworokącie wypukłym , w którym
,
,
można opisać okrąg. Wiedząc, że przekątna
ma długość
, oblicz pole tego czworokąta.
Rozwiązanie
Jak zwykle zaczynamy od schematycznego rysunku.
Plan jest następujący: ponieważ znamy wszystkie boki trójkąta , możemy wyliczyć jego kąt przy wierzchołku
(z twierdzenia cosinusów), to nam da kąt
(bo
), a to z kolei powinno pozwolić wyliczyć długość boku
(znowu z twierdzenia cosinusów).
No to liczymy
![2 2 2 AC = AD + DC√ --− 2AD ⋅DC√ co-s∡D 18 = 12 + (9 − 6 3 + 3) − 2(6 3− 6 )cos ∡D √ -- √ -- 2(6 3 − 6)co s∡D = 6− 6 3 1 cos ∡D = − -. 2](https://img.zadania.info/zad/5599713/HzadR6x.gif)
A zatem , skąd
. Ponieważ
, oznacza to, że trójkąt
jest równoboczny. Możemy teraz policzyć szukane pole
![PABCD-- = PABC + PCDA = (3√ 2)2 ⋅ √ 3 1 √ -- √ -- ------------+ -(2 3)(3− 3)sin1 20∘ = √ -4 2 √ -- 18--3- √ -- --3- 4 + (3 3 − 3) 2 = √ -- √ -- √ -- 9--3+--9−--3--3-= 9+--6--3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5599713/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: