/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 7129799

Na bokach AB ,BC ,CD i DA czworokąta ABCD wybrano punkty K ,L,M i N takie, że

AK-- = BL- = CM---= DN-- = k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KB LC MD NA

Oblicz stosunek pola czworokąta KLMN do pola czworokąta ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Pole czworokąta KLMN obliczmy odejmując od pola czworokąta ABCD pola trójkątów AKN ,BLK ,CML i DNM . Zauważmy najpierw, że z założenia AK = k⋅ KB , więc

AK-- --AK------ --k-⋅KB----- --k--- AB = AK + KB = k⋅KB + KB = k+ 1.

Podobnie

NA-- ----NA-------- --1--- DA = k⋅NA + NA = k + 1 .

Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

P = 1-AK ⋅ NA sin ∡A = 1-⋅--k---⋅AB ⋅--1---DA sin ∡A AKN 2 2 k + 1 k + 1 k 1 k = -------2 ⋅--AB ⋅ DA sin ∡A = -------2PABD . (k + 1) 2 (k+ 1)

Analogicznie obliczamy

k PBLK = -------2PBCA (k+ 1 ) ---k---- PCML = (k+ 1 )2PCDB P = ---k----P . DNM (k+ 1 )2 DAC

Mamy zatem

PKLMN = PABCD − PAKN − PBLK − PCML − PDNM = k = PABCD − -------2 ((PABD + PCDB ) + (PBCA + PDAC )) = (k+ 1) ( ) ---2k--- ---2k--- = PABCD − (k+ 1)2PABCD = 1 − (k + 1)2 PABCD = (k-+-1)2-−-2k -k-2 +-1- = (k+ 1)2 PABCD = (k + 1)2 PABCD .

Zatem

2 PKLMN-- = -k-+--1-. PABCD (k+ 1)2

 
Odpowiedź: PKLMN- = -k2+1- PABCD (k+1)2

Wersja PDF