Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9855782

Z punktu A leżącego na okręgu o promieniu r = 6 cm i środku O poprowadzono dwie równej długości cięciwy AB i AC tworzące kąt 30∘ . Oblicz pole czworokąta ABOC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, mamy

∡BOC = 2⋅∡BAC = 60∘ .

Sposób I

Jeżeli połączymy środek O okręgu z punktem A to mamy dwa przystające trójkąty równoramienne BOA i AOC o ramionach długości r = 6 . Kąt między ramionami wynosi 150 ∘ , zatem pole jednego takiego trójkąta jest równe

 1- ∘ ∘ P = 2 ⋅6 ⋅6⋅sin 150 = 1 8⋅sin 30 = 9.

Pole całego czworokąta jest dwa razy większe.

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać bez trygonometrii. Obliczymy szukane pole czworokąta odejmując od pola trójkąta ABC pole trójkąta BCO .

Trójkąt BCO jest równoboczny (bo jest równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę  ∘ 6 0 ). Zatem jego pole jest równe

 √ -- 36---3 √ -- PBCO = 4 = 9 3.

Zauważmy ponadto, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona na podstawę BC jest sumą promienia okręgu i wysokości trójkąta BCO . Zatem

 6√ 3- √ -- h = 6+ -----= 6+ 3 3. 2

Zatem pole trójkąta ABC jest równe

 1 √ -- PABC = -BC ⋅h = 1 8+ 9 3. 2

Stąd

P = P − P = 1 8+ 9√ 3− 9√ 3-= 18. ABOC ABC BCO

 
Odpowiedź:  2 18 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!