Zadanie nr 9855782
Z punktu leżącego na okręgu o promieniu
i środku
poprowadzono dwie równej długości cięciwy
i
tworzące kąt
. Oblicz pole czworokąta
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, mamy

Sposób I
Jeżeli połączymy środek okręgu z punktem
to mamy dwa przystające trójkąty równoramienne
i
o ramionach długości
. Kąt między ramionami wynosi
, zatem pole jednego takiego trójkąta jest równe

Pole całego czworokąta jest dwa razy większe.
Sposób II
Zadanie możemy też rozwiązać bez trygonometrii. Obliczymy szukane pole czworokąta odejmując od pola trójkąta pole trójkąta
.
Trójkąt jest równoboczny (bo jest równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę
). Zatem jego pole jest równe

Zauważmy ponadto, że wysokość trójkąta
opuszczona na podstawę
jest sumą promienia okręgu i wysokości trójkąta
. Zatem

Zatem pole trójkąta jest równe

Stąd

Odpowiedź: