/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 9855782

Z punktu A leżącego na okręgu o promieniu r = 6 cm i środku O poprowadzono dwie równej długości cięciwy AB i AC tworzące kąt 30∘ . Oblicz pole czworokąta ABOC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, mamy

∡BOC = 2⋅∡BAC = 60∘ .

Sposób I

Jeżeli połączymy środek O okręgu z punktem A to mamy dwa przystające trójkąty równoramienne BOA i AOC o ramionach długości r = 6 . Kąt między ramionami wynosi 150 ∘ , zatem pole jednego takiego trójkąta jest równe

1- ∘ ∘ P = 2 ⋅6 ⋅6⋅sin 150 = 1 8⋅sin 30 = 9.

Pole całego czworokąta jest dwa razy większe.

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać bez trygonometrii. Obliczymy szukane pole czworokąta odejmując od pola trójkąta ABC pole trójkąta BCO .

Trójkąt BCO jest równoboczny (bo jest równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę ∘ 6 0 ). Zatem jego pole jest równe

√ -- 36---3 √ -- PBCO = 4 = 9 3.

Zauważmy ponadto, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona na podstawę BC jest sumą promienia okręgu i wysokości trójkąta BCO . Zatem

6√ 3- √ -- h = 6+ -----= 6+ 3 3. 2

Zatem pole trójkąta ABC jest równe

1 √ -- PABC = -BC ⋅h = 1 8+ 9 3. 2

Stąd

P = P − P = 1 8+ 9√ 3− 9√ 3-= 18. ABOC ABC BCO

 
Odpowiedź: 2 18 cm

Wersja PDF