/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 20 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

ZINFO-FIGURE

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A) |x − 21,5| ≥ 595 B) |2x − 43| ≥ 595
C) |x− 43| ≥ 297,5 D) |2x− 21,5| ≥ 297,5

Zadanie 2

(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej wyrażenie ∘3√----√----√--- 3x ⋅ 4x ⋅ 6x jest równe
A) √ -- 4x B) √ -- 36x C) 1√8x-- D) 6√x--

Zadanie 3

(1 pkt)

Pan Łukasz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Łukasz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 5292 zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Łukasza na tę lokatę była równa
A) 4800 zł B) 4400 zł C) 4500 zł D) 4600 zł

Zadanie 4

(1 pkt)

Liczba log 1-+ lo g 9 3 27 3 jest równa
A) (− 1) B) 1 3 C) 3 D) 10

Zadanie 5

(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba n 3 + 3n2 − 28n jest podzielna przez 6.

Informacja do zadań 6.1 – 6.4

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zadanie 6.1

(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości z przedziału [− 6,0 ] .

Zadanie 6.2

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji jest przedział
A) (− ∞ ,2] B) (− ∞ ,− 8] C) [2,+ ∞ ) D) [− 8,+ ∞ )

Zadanie 6.3

(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór funkcji można przedstawić w postaci:
A) 1 f (x) = 2(x − 2 )(x + 6) B) f (x) = 12(x + 2)2 − 8
C) f(x ) = 1(x + 2)(x − 6 ) 2 D) 1 2 f (x) = 2(x − 2) − 8

E) f(x) = 2(x+ 2)(x − 6) F) f (x) = 2(x + 2)2 − 8

Zadanie 6.4

(1 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona za pomocą funkcji następująco: g(x ) = f(x + 1) + 1 . Fragment wykresu funkcji y = g(x) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 7

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od ( ) − 12 , ( ) − 13 , 0 i wartość wyrażenia

---9x2-−-1--- 4x2-+-4x-+-1- 6x 2 + 5x+ 1 ⋅ 6x2 − 2x

jest równa wartości wyrażenia
A) -1 1 + 2x B) 3 -1 2 + 2x C) 23 + 31x D) x + 2x

Zadanie 8

(1 pkt)

Podstawa trapezu równoramiennego ABCD , który nie jest równoległobokiem, ma równanie y = x+ 3 . Ponadto A = (− 2,− 4) i B = (7,5) . Oś symetrii tego trapezu ma równanie
A) g(x ) = x− 2 B) g(x) = −x + 3 C) g(x ) = −x − 6 D) g (x) = x + 2

Zadanie 9

(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

− 2 (x + 3) ≥ 2-−-x- 3

jest przedział
A) (− ∞ ,− 4] B) (− ∞ ,4] C) [− 4,+ ∞ ) D) [4,+ ∞ )

Zadanie 10

(3 pkt)

Rozwiąż równanie 12x 3 − 18 = 27x − 8x 2 .

Zadanie 11

(1 pkt)

Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = ax+ b , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) .

ZINFO-FIGURE

Liczba oraz liczba we wzorze funkcji spełniają warunki:
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 12

(1 pkt)

Pięciowyrazowy ciąg ( 27 4) − 4 ,x,− 3,y ,− 3 jest geometryczny i nie wszystkie jego wyrazy są ujemne. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy
A) 81 B) − 243 C) 243 2 D) 81 − 2

Zadanie 13

(1 pkt)

Równanie

(x − 4)(x 2 − 4) --2------------3-----------= 0 (x − 6x + 8)(x + ax + 5)

z niewiadomą nie ma rozwiązań rzeczywistych. Liczba jest więc równa
A) 6,5 B) 4 C) − 1,5 D) − 2

Zadanie 14

(3 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa √ -- 288 3 . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze taki, że tg α = 4 3 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Informacja do zadań 15.1 – 15.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

Zadanie 15.1

(1 pkt)

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x ) ≤ 1 .

Zadanie 15.2

(1 pkt)

Dziedziną funkcji jest zbiór
A) [− 1,1)∪ (1 ,3] B) [− 1,3] C) (− 1,1) ∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 6,5) F) (− 6,− 2)∪ (1,5)

Zadanie 15.3

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji y = f(x − 2) − 2 jest zbiór
A) [− 3,1] B) [− 1 ,3 ] C) (− 8,− 4) ∪ (− 1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) [1,5] F) [− 5,− 3]

Zadanie 16

(2 pkt)

Pan Tomasz spłacił pożyczkę w wysokości 26760 zł w 24 ratach. Pierwsze 13 rat miało tą samą wysokość, a każda kolejna rata była o 60 zł mniejsza od poprzedniej. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zadanie 17

(1 pkt)

Dane są proste i o równaniach

1 k : y = − -x − 9 2 l : y = (2m + 1)x+ 11.

Proste oraz są równoległe, gdy
A) ( 1) m = − 4 B) 1 m = 4 C) m = 3 4 D) ( ) m = − 3 4

Zadanie 18

(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego wyrażenie tg2α + ---1--- sin2α−1 jest równe
A) 1 B) 2 1 + sin α C) cos2α D) − 1

Zadanie 19

(1 pkt)

W rombie ABCD o polu √ -- 6 3 dłuższa przekątna tworzy z bokiem kąt o mierze 30∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość przekątnej jest równa
A) 6 B) 9 C) √ -- 6 3 D) 6√ 2-

Zadanie 20

(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt ACO ma miarę 75∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego ABC jest równa
A) 10∘ B) 1 5∘ C) 35∘ D) 20∘

Zadanie 21

(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim, że 3 cosα = 4 . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A) 25 B) √ -- 1 5 2 C) √ -- 10 2 D) 20

Zadanie 22

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , punkt (− 6,8) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A) 2x + 3y = 12 i − x + y = − 14 B) 3x + 2y = − 2 i − 2x + y = 20
C) i x − 2y = 4 D) x− y = − 14 i 2x + y = 10

Zadanie 23

(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego jest równe √- 6,25⋅-3 4 . Pole trójkąta równobocznego T 2 jest równe 56,25⋅√3 ---4--- .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali

A) 5,

B) 3,

ponieważ

1)	pole trójkąta jest 25 razy większe od pola trójkąta .
2)	bok trójkąta jest o 5 dłuższy od boku trójkąta .
3)	bok trójkąta jest 3 razy dłuższy od boku trójkąta .

Informacja do zadań 24.1 i 24.2

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny ogórków w szesnastu wybranych sklepach.

Zadanie 24.1

(1 pkt)

Mediana ceny kilograma ogórków w tych wybranych sklepach jest równa
A) 4,80 zł B) 4,90 zł C) 5,00 zł D) 5,10 zł E) 5,20 zł

Zadanie 24.2

(1 pkt)

Średnia cena kilograma ogórków w tych wybranych sklepach, zaokrąglona do dwóch miejsc po przecinku, jest równa
A) 5,10 zł B) 5,14 zł C) 5,11 zł D) 5,13 zł E) 5,12 zł

Zadanie 25

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 17,− 11) i B = (43,− 31) są wierzchołkami równoległoboku ABCD . Punkt S = (2 3,9) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Równoległobok jest rombem.	P	F
Równoległobok jest prostokątem.	P	F

Zadanie 26

(2 pkt)

E–dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy mniejszej niż (− 2) .

Zadanie 27

(1 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których suma dzieli się przez 9 jest większe od 0,1.	P	F
Prawdopodobieństwo tego, że pierwsza liczba dzieli drugą jest mniejsze niż 0,38.	P	F

Zadanie 28

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = (− 1)n+ 1 ⋅ n−1 n 2 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A) 2 B) (− 2) C) 3 D) (− 1)

Zadanie 29

(4 pkt)

Działka ma kształt trójkąta o podstawie |AB | = 4 00 m . Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę jest równa 125 m, a jego kąty CAB i CBA są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie tego trójkąta, a dwa pozostałe – oraz – na bokach i trójkąta (zobacz rysunek).