/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony
(formuła 2015) 15 maja 2024 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Odległość punktu od prostej o równaniu
jest równa
A) B)
C)
D)
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania.
D) ma dokładnie cztery rozwiązania.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Zbiorem wartości funkcji
jest przedział
A) B)
C)
D)
Granica
![3 lim 1+--3a+--2ax-+-ax-- x→ + ∞ 3+ 4x+ 5x2 + 5x3](https://img.zadania.info/zes/0068137/HzesT15x.png)
jest równa 3. Wtedy
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Wielomian jest iloczynem wielomianów
oraz
. Oblicz wartości współczynników:
oraz
.
Wykaż, że jeżeli oraz
, to
.
Dany jest czworokąt wypukły . Przekątne
oraz
tego czworokąta przecinają się w punkcie
. Wykaż, że jeżeli
, to na czworokącie
można opisać okrąg.
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Funkcja jest określona wzorem
![x3 − 3x + 2 f (x ) = ------------ x](https://img.zadania.info/zes/0068137/HzesT35x.png)
dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych
punkt
, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji
. Prosta o równaniu
jest styczna do wykresu funkcji
w punkcie
. Oblicz współczynniki
oraz
w równaniu tej stycznej.
Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru , losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby
oraz
są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego
, określonego dla każdej liczby naturalnej
. Oblicz
oraz
.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok
, a długości dwóch pozostałych boków są równe
oraz
. Oblicz miarę kąta
oraz długość boku
tego trójkąta.
W kartezjańskim układzie współrzędnych środek
okręgu o promieniu
leży na prostej o równaniu
. Przez punkt
, którego odległość od punktu
jest większa od
, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
i
. Pole czworokąta
jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu
. Rozważ wszystkie przypadki.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 x − (3m + 1)⋅x + 2m + m + 1 = 0](https://img.zadania.info/zes/0068137/HzesT73x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
![x31 + x32 + 3 ⋅x1 ⋅ x2 ⋅(x 1 + x 2 − 3) ≤ 3m − 7.](https://img.zadania.info/zes/0068137/HzesT75x.png)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .
-
Wykaż, że pole
powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości
krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
-
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.