/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 16 marca 2024 Czas pracy: 180 minut
Jacek ustawia książek na półce. Wśród tych książek są dokładnie 3 książki historyczne. Liczba wszystkich możliwych ustawień tych książek jest 117 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień, w których książki historyczne stoją obok siebie (w dowolnej kolejności). Oblicz
.
Informacja do zadań 2.1 i 2.2
Dany jest wielomian określony dla dowolnej liczby rzeczywistej
.
Wykaż, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![( ) W --|x|-- = m 1 + |x|](https://img.zadania.info/zes/0074142/HzesT6x.png)
ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Wykaż, że
![1−--cos-3π5-- -1--- sin 3π- = tg π-. 5 5](https://img.zadania.info/zes/0074142/HzesT7x.png)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Prosta
jest styczna do wykresu funkcji
w punkcie
. Wyznacz współrzędne punktu
.
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków
i
w punktach
i
odpowiednio. Na bokach
i
tego trójkąta wybrano punkty
i
w ten sposób, że odcinek
jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli ,
i
, to trójkąt
jest rozwartokątny.
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest równy 33, a cosinus największego kąta jest równy . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dany jest sześcian o krawędzi długości 3. Punkt
jest punktem przecięcia przekątnych
i
ściany bocznej
(zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu
na bok
tego trójkąta.
Ośmiokrotnie rzucamy sześcienną kostką do gry. Wśród otrzymanych wyników jest dokładnie 5 piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie otrzymaliśmy piątkę?
Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
![(4a,3b,c + 12)](https://img.zadania.info/zes/0074142/HzesT42x.png)
jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek . Oblicz
oraz
.
W układzie współrzędnych dane są punkty ,
i
. Wyznacz wszystkie punkty
prostej
, które są różne od punktów
i
, i dla których suma pól trójkątów
i
jest mniejsza od 120.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![(m + 2)x2 − (m − 2)x − 4 = 0](https://img.zadania.info/zes/0074142/HzesT56x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunek:
![1 1 1 1 --+ ---+ 2 ≥ -2-+ -2- x1 x2 x1 x2](https://img.zadania.info/zes/0074142/HzesT59x.png)
Boki i
prostokąta
mają długości
i
odpowiednio, gdzie
jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Na bokach
i
wybrano odpowiednio punkty
i
w ten sposób, że
. Oblicz dla jakiej długości odcinka
pole trójkąta
jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.