/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy
(formuła 2015) 8 maja 2024 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Na początku sezonu letniego cenę x pary sandałów podwyższono o 20%. Po miesiącu nową cenę obniżono o 10%. Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała 81 zł. Początkowa cena x pary sandałów była równa
A) 45 zł B) 73,63 zł C) 75 zł D) 87,48 zł

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( 1-)8 16 16 ⋅8 jest równa
A) 224 B) 216 C) 2 12 D) 28

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba log √39 jest równa
A) 2 B) 3 C) 4 D) 9

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia

(2a + b)2 − (2a − b )2

jest równa wartości wyrażenia
A) 2 8a B) 8ab C) − 8ab D) 2 2b

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 2 1 − --x < --− x 2 3

jest przedział
A) ( ) − ∞ ,− 23 B) ( ) − ∞ , 23 C) ( ) − 2,+ ∞ 3 D) ( ) 2,+ ∞ 3

Zadanie 6
(1 pkt)

Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania x(x + 2)(x2 + 9) = 0 jest
A) (− 2) B) 0 C) 2 D) 3

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie ---x+1---- (x+ 2)(x− 3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązania.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: (− 1) .
C) ma dokładnie dwa rozwiązania: (− 2) oraz 3.
D) ma dokładnie trzy rozwiązania: (− 1) , (− 2) oraz 3.

Zadanie 8
(1 pkt)

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
A) { x+ y = 1960 0,6⋅0 ,95x = 0,9y B) { x+ y = 1960 0,95x = 0,6 ⋅0,9y
C) { x + y = 1960 0 ,05x = 0,6 ⋅0,1y D) { x+ y = 1960 0,4⋅0 ,9 5x = 0,9y

Zadanie 9
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c , jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c , jest równa
A) 9 B) 6 C) 4,5 D) 18

Zadanie 10
(1 pkt)

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań.

ZINFO-FIGURE

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A) { 3 y = − 2x + 3 y = − 32x − 1 B) { 3 y = 2x+ 3 y = − 23x− 1
C) { y = 3x + 3 2 y = 32x − 1 D) { y = − 3x − 3 2 y = 32x + 1

Zadanie 11
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

ZINFO-FIGURE

Zbiorem wartości tej funkcji jest
A) (− 6,6] B) [1,4) C) [1,4] D) [− 6,6]

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (− 2k + 3 )x+ k− 1 , gdzie k ∈ R . Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału
A) (− ∞ ,1) B) ( 3) − ∞ ,− 2 C) (1,+ ∞ ) D) ( ) 32,+ ∞

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcje liniowe f oraz g , określone wzorami f(x ) = 3x + 6 oraz g(x) = ax+ 7 , mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy
A) ( 7) − 2 B) ( 2) − 7 C) 27 D) 72

Informacja do zadań 14 i 15

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 14
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
A) y = − (x + 1 )2 − 9 B) y = − (x− 1)2 + 9
C) 2 y = − (x − 1) − 9 D) 2 y = − (x + 1) + 9

Zadanie 15
(1 pkt)

Dla funkcji f prawdziwa jest równość
A) f(− 4) = f(6) B) f(− 4) = f (5) C) f(− 4) = f(4) D) f(− 4) = f(7)

Zadanie 16
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (a ) n , określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , dane są wyrazy a4 = − 2 oraz a6 = 1 6 . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A) 7 2 B) 9 2 C) 7 D) 9

Zadanie 17
(1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 2n− 1 , dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Iloraz tego ciągu jest równy
A) 1 2 B) (−2 ) C) 2 D) 1

Zadanie 18
(1 pkt)

Ciąg (b ) n jest określony wzorem bn = (n + 2)(7− n) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba dodatnich wyrazów ciągu (bn) jest równa
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9

Zadanie 19
(1 pkt)

Liczba sin 320 + cos2 20⋅sin 20 jest równa
A) ∘ cos20 B) ∘ sin 20 C) ∘ tg 20 D) ∘ ∘ sin20 ⋅cos 20

Zadanie 20
(1 pkt)

Kąt α jest ostry oraz 5 cosα = 13 . Wtedy
A) tg α = 1213- B) tg α = 125 C) -5 tg α = 12 D) 13 tg α = 12

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze ∘ 12 0 . Pole tego równoległoboku jest równe
A) 12 B) √ -- 1 2 3 C) 6 D) √ -- 6 3

Zadanie 22
(1 pkt)

W trójkącie MKC bok MK ma długość 24. Prosta równoległa do boku MK przecina boki MC i KC – odpowiednio – w punktach A oraz B takich, że |AB | = 6 i |AC | = 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość odcinka MA jest równa
A) 18 B) 15 C) 9 D) 12

Zadanie 23
(1 pkt)

W trójkącie ABC , wpisanym w okrąg o środku w punkcie S , kąt ACB ma miarę 42 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego BAS jest równa
A) 42∘ B) 4 5∘ C) 48∘ D) 69∘

Zadanie 24
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami

k : y = (m + 1)x+ 7 l : y = − 2x + 7

Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa
A) − 1 2 B) 1 2 C) (− 3) D) 1

Zadanie 25
(1 pkt)

Na prostej l o współczynniku kierunkowym 1 2 leżą punkty A = (2,− 4) oraz B = (0,b) . Wtedy liczba b jest równa
A) (− 5) B) 10 C) (− 2) D) 0

Zadanie 26
(1 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe √ -- 15 3 . Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A) 36√ 1-0 B) 60 C) √ --- 6 1 0 D) 360

Zadanie 27
(1 pkt)

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 28
(1 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 64. Wysokość tego ostrosłupa jest równa 12. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Zadanie 29
(1 pkt)

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa
A) 4 B) 10 C) 24 D) 16

Zadania otwarte

Zadanie 30
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność: 2 x − 4 ≤ 3x .

Zadanie 31
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y , prawdziwa jest nierówność

(3x + y)(x+ 3y) > 16xy .

Zadanie 32
(2 pkt)

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej f(x) = x 2 + bx + c jest prosta o równaniu x = − 2 . Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Oblicz współczynniki b oraz c .

Zadanie 33
(2 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (− 1) , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (− 1 65) . Oblicz różnicę tego ciągu.

Zadanie 34
(2 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD , w którym A = (− 2,6) oraz B = (10,2) . Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P = (6,7) . Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

Zadanie 35
(2 pkt)

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5,6,7,8,9 } . Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Zadanie 36
(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1 4 . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz cosinus kąta α oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania