/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 4 czerwca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 2− 1 ⋅32 35 jest równa
A) (− 16) B) (− 4) C) 2 D) 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log 3 + log 2 3 2 3 9 jest równa
A) 31 log 318 B) 5 lo g311 C) (− 1) D) 1 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba √ --- √ -- (2 10 + 2)2 jest równa
A) 22 B) 42 C) 42+ 4√ 5- D) √ -- 42 + 8 5

Zadanie 4
(1 pkt)

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K zł 0 . Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 3 K 0 ⋅(1,06 ) B) 3 K0 ⋅(1,02) C) 6 K 0 ⋅(1,03) D) K0 ⋅1,18

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3 5n − 5n jest podzielna przez 30.

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności

3x − 5 1 ------- < -- 1 2 3

jest równa
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6

Zadanie 7
(1 pkt)

Układ równań { x− 2y = 3 −4x + 8y = − 12.
A) nie ma rozwiązań B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania D) ma nieskończenie wiele rozwiązań

Zadanie 8
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (− 1) , 0 i 1, wartość wyrażenia -2x2- ⋅ x+1 x2−1 x jest równa wartości wyrażenia
A) 2x + 2 B) 2x x−1- C) --2x- x2− 1 D) 2x3+1 x3−1

Zadanie 9
(1 pkt)

Wielomian W (x) = ax3 + bx2 + cx + d jest iloczynem wielomianów F (x) = (2 − 3x )2 oraz G (x) = 3x − 2 . Oblicz sumę a + b + c+ d współczynników wielomianu W .

Zadanie 10
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 4x 3 − 1 2x2 − x+ 3 = 0 .

Informacja do zadań 11.1 i 11.2

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , przedstawiono wykres funkcji f . Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z prostą o równaniu y = 2 ma obie współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 11.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f (x) ≤ 2 .

Zadanie 11.2
(1 pkt)

Na kolejnym rysunku przedstawiono wykres funkcji g , powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f wzdłuż osi Ox o 4 jednostki w lewo.

ZINFO-FIGURE

Funkcje f i g są powiązane zależnością

A) g (x) = f(x + 4) ,B) g (x) = f(x − 4) ,C) g (x) = f(x )− 4 ,

oraz mają takie same

1) dziedziny.2) zbiory wartości.

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja y = f(x) jest określona za pomocą tabeli

x − 2 − 1 012
y − 1 0 103

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. PF
Wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy .PF

Zadanie 13
(1 pkt)

Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (3 − m )x + 4 . Liczba m jest równa
A) 0 B) 3 C) 4 D) 5

Zadanie 14
(2 pkt)

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f , ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x ,y) dokładnie dwa punkty wspólne: M = (0 ,1 8) oraz N = (3 ,0 ) . Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f .

Informacja do zadań 15.1 i 15.2

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f (x) = − (x + 1)2 + 4 .

Zadanie 15.1
(1 pkt)

Fragment wykresu funkcji y = f(x ) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 15.2
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji f przecina oś Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y ) w punkcie o współrzędnych (0 ,4 ) . PF
Miejsca zerowe funkcji f są równe: (− 3) oraz 1. PF

Informacja do zadań 16.1 i 16.2

Ciąg (a ) n jest określony wzorem a = 2⋅ (− 1)n+1 + 5 n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 .

Zadanie 16.1
(1 pkt)

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 3 B) 7 C) 50 D) 100

Zadanie 16.2
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg (an) jest malejący. PF
Ciąg (an) jest geometryczny.PF

Zadanie 17
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , dane są wyrazy: a1 = 7 oraz a2 = 1 3 . Wyraz a10 jest równy
A) − 47 B) 52 C) 61 D) 67

Zadanie 18
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (− 1,2,x ) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (− 1 ,2 ,y) jest geometryczny. Liczby x oraz y spełniają warunki
A) x > 0 i y > 0 B) x > 0 i y < 0 C) x < 0 i y > 0 D) x < 0 i y < 0

Zadanie 19
(1 pkt)

Liczba 2 ∘ 1 + cos 2 7 jest równa
A) 2 − sin22 7∘ B) sin2 27∘ C) 2 + sin22 7∘ D) 2

Zadanie 20
(1 pkt)

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB | = 8 oraz |CD | = 5 . Wysokość AD tego trapezu ma długość √ -- 3 .

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego ABC jest równa
A) 15∘ B) 3 0∘ C) 45∘ D) 60∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkty A , B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S . Długość łuku AB , na którym jest oparty kąt wpisany ACB , jest równa 1 5 długości okręgu.

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego ACB jest równa
A) 18∘ B) 3 0∘ C) 36∘ D) 72∘

Zadanie 22
(2 pkt)

Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12. Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS . Oblicz długość odcinka BP .

Informacja do zadań 23.1 i 23.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu

2 2 (x − 1 ) + (y + 2) = 5
Zadanie 23.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu O należy punkt o współrzędnych (− 1,− 3) .PF
Promień okręgu O jest równy 5. PF

Zadanie 23.2
(1 pkt)

Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Okrąg K jest określony równaniem
A) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 5 B) 2 2 (x + 1) + (y + 2) = 5
C) 2 2 (x − 1) + (y − 2) = 5 D) (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5

Zadanie 24
(4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A = (2,8) oraz B = (1 0,2) . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P . Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP .

Zadanie 25
(1 pkt)

Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A) 2025 B) 2026 C) 4048 D) 4052

Zadanie 26
(1 pkt)

Przekątna ściany sześcianu ma długość √ -- 2 2 . Objętość tego sześcianu jest równa
A) 8 B) 24 C) √- 16-6- 9 D) √ -- 16 2

Zadanie 27
(1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tg α = 2 .

ZINFO-FIGURE

Wysokość tego graniastosłupa jest równa
A) 2 B) 8 C) √ -- 8 2 D) 16√ 2-

Zadanie 28
(1 pkt)

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

ZINFO-FIGURE

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
A) 3 B) 3,12 C) 3,5 D) 4,1(6)

Zadanie 29
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest
A) 16 B) 27 C) 54 D) 81

Zadanie 30
(1 pkt)

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe 3 5 . Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa
A) 9 B) 12 C) 15 D) 30

Zadanie 31
(2 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

Informacja do zadań 32.1 i 32.2

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód P ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o x zł, wyraża się wzorem

P(x) = (70− x)(20 + x)

gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x ≥ 0 i x ≤ 6 0 .

Zadanie 32.1
(1 pkt)

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba x jest równa
A) 25 B) 30 C) 45 D) 50 E) 60

Zadanie 32.2
(1 pkt)

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł, gdy liczba x jest równa
A) 25 B) 30 C) 45 D) 50 E) 60

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania