Zadanie nr 3309635

Trójkąt o bokach długości 17, 28 i 33 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Aby obliczyć ich objętości musimy wyznaczyć długość promienia tej podstawy. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BE = x , to wyliczając długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AEB i AED mamy równanie

AB 2 − BE 2 = AD 2 − DE 2 2 2 289 − x = 784 − (33 − x) 289 − x 2 = 784 − 1089 + 66x − x2 66x = 594 x = 9.

Stąd

r2 = AB 2 − x 2 = 289 − 81 = 208.

Stąd szukana objętość wynosi

1- 2 1- 2 2 V = 3πr x+ 3πr (33 − x) = 1 1πr = 2 288π .

Sposób II

Długość promienia to dokładnie wysokość opuszczona na bok w trójkącie ABD . Aby ją wyznaczyć wystarczy znać pole trójkąta, a to możemy wyliczyć ze wzoru Herona. Mamy 1 p = 2(a + b + c) = 39 oraz