/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 3419513

Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem α . Kula opisana na tym stożku ma promień R . Oblicz objętość tego stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy przekrój opisanej sytuacji

PIC

Na mocy twierdzenia sinusów

--l-- = 2R ⇒ l = 2R sin α. sin α

Liczymy dalej

r - = cosα ⇒ r = lcos α = 2R sin αcos α l h-= sin α ⇒ h = lsinα = 2R sin2α. l

Możemy teraz obliczyć szukaną objętość

1 1 V = --πr2 ⋅h = --π ⋅4R 2sin2α cos2 α⋅ 2R sin 2α = 3 3 8- 3 4 2 = 3 πR sin αcos α.

 
Odpowiedź: V = 8πR 3sin4α cos2 α 3

Wersja PDF