/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 4476910

Tworzącą stożka widać ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem o mierze α . Wyznacz stosunek objętości tej kuli do objętości stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku – od razu rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Zauważmy najpierw, że w trójkącie prostokątnym ADS

∘ ∡ASD = 180 − α ∡DAS = 90∘ − ∡ASD = 90∘ − (180 ∘ − α ) = α − 90∘.

Dodatkowo, odcinek AS jest zawarty w dwusiecznej kąta DAC , więc

∡DAC = 2 ∡DAS = 2α− 180∘.

Teraz łatwo już obliczyć wysokość stożka w zależności np. od promienia r jego podstawy.

CD ∘ ∘ AD--= tg∡DAC = tg (2α− 180 ) = − tg (180 − 2α) = tg 2α CD = rtg 2α.

Objętość stożka jest więc równa

1 2 1 2 πr3 tg 2α Vs = 3-πr ⋅CD = 3πr ⋅r tg 2α = ----3----.

Objętość kuli wpisanej w stożek obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez x promień kuli wpisanej w stożek, to w trójkącie ADS mamy

x- = tg(α − 90∘ ) = − tg(90∘ − α) = − -1-- ⇒ x = − --r-. r tg α tg α

Objętość kuli wpisanej w stożek jest więc równa

3 Vk = 4πx 3 = − 4-πr--. 3 3tg3 α

W takim razie stosunek objętości kuli do objętości stożka jest równy

3 V 43πtgr3α- 4 -k-= − ---3----= − --3-------. Vs πr-tg32α- tg α tg2 α

Sposób II

Standardowy sposób wyznaczenia promienia x okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole P = px , gdzie p jest połową obwodu tego trójkąta. W naszej sytuacji

1 2 P = 2-AB ⋅CD = r ⋅CD = r tg2α AD-- = cos(2 α− 180∘) = cos(1 80∘ − 2α) = − cos2α ⇒ AC = − ---r--- AC co s2α 1- --r---- p = 2 (AB + AC + BC ) = r + AC = r− cos2α .

Promień kuli wpisanej w stożek jest więc równy

P r2tg 2α rsin 2α x = -- = ------r-- = ----------. p r − cos2α cos2α − 1

Interesujący nas stosunek objętości jest więc równy

3 3 43π ⋅ (rcossi2nα−21α)3- 4 sin32α ----πr3tg-2α-----= ----------------3-. ---3--- tg 2α (co s2α − 1)

No i mamy dobre ćwiczenie, żeby sprawdzić, że jest to ten sam wynik co poprzednio.  
Odpowiedź: 4 4 sin32α − tg3αtg2α = tg2α(cos2α−1)3

Wersja PDF