/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 4771554

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym 120∘ (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujemy promień podstawy r i wysokość H . Zauważmy, że długość łuku podanego wycinka kołowego, to dokładnie długość okręgu w podstawie stożka. Pozwoli nam to wyliczyć promień podstawy:
długość łuku odcinka kołowego: 1 3 ⋅2π ⋅3 = 2π ,
długość okręgu w podstawie: 2πr .

Mamy zatem 2 πr = 2 π , czyli r = 1 (równie dobrze mogliśmy wyliczyć r , korzystając ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka).

Pozostało wyliczyć H . Robimy to z twierdzenia Pitagorasa (rysunek):

PIC

------- ∘ 2 2 √ -- √ -- H = 3 − 1 = 8 = 2 2.

Korzystamy teraz ze wzoru na objętość:

-- 1 1 √ -- 2√ 2π V = --πr2H = -π ⋅1 ⋅2 2 = ------. 3 3 3

 
Odpowiedź: 2√ 2π --3--

Wersja PDF