Zadanie nr 4771554
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie
Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujemy promień podstawy i wysokość
. Zauważmy, że długość łuku podanego wycinka kołowego, to dokładnie długość okręgu w podstawie stożka. Pozwoli nam to wyliczyć promień podstawy:
długość łuku odcinka kołowego: ,
długość okręgu w podstawie: .
Mamy zatem , czyli
(równie dobrze mogliśmy wyliczyć
, korzystając ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka).
Pozostało wyliczyć . Robimy to z twierdzenia Pitagorasa (rysunek):

Korzystamy teraz ze wzoru na objętość:

Odpowiedź: