Zadanie nr 4771554
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie
Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujemy promień podstawy i wysokość
. Zauważmy, że długość łuku podanego wycinka kołowego, to dokładnie długość okręgu w podstawie stożka. Pozwoli nam to wyliczyć promień podstawy:
długość łuku odcinka kołowego: ,
długość okręgu w podstawie: .
Mamy zatem , czyli
(równie dobrze mogliśmy wyliczyć
, korzystając ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka).
Pozostało wyliczyć . Robimy to z twierdzenia Pitagorasa (rysunek):
![------- ∘ 2 2 √ -- √ -- H = 3 − 1 = 8 = 2 2.](https://img.zadania.info/zad/4771554/HzadR9x.gif)
Korzystamy teraz ze wzoru na objętość:
![-- 1 1 √ -- 2√ 2π V = --πr2H = -π ⋅1 ⋅2 2 = ------. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/4771554/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: