Zadanie nr 5005441
Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem kołowym o kącie środkowym . Kąt ten oparty jest na cięciwie o długości
. Oblicz objętość stożka.
Rozwiązanie
Narysujmy stożek i jego rozwinięcie.
Mamy
![a 2-= sin α- l 2 --a---- l = 2sin α. 2](https://img.zadania.info/zad/5005441/HzadR1x.gif)
Promień podstawy możemy policzyć z długości łuku odciętego przez daną cięciwę.
![-α- 2πr = 2π ⋅2 πl α α a aα r = ---⋅ l = ---⋅ -----α-= ------α-. 2π 2π 2sin 2 4π sin 2](https://img.zadania.info/zad/5005441/HzadR2x.gif)
Wysokość wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
![∘ ------- ∘ ------2-- ∘ --------- h = l2 − r2 = l 1 − -α-- = ---a---- 4π 2 − α2. 4π 2 4π sin α2](https://img.zadania.info/zad/5005441/HzadR3x.gif)
Pozostało policzyć szukaną objętość
![( ) 2 ∘ --------- V = 1πr 2h = 1-π ---aα--- ⋅----a--- 4π 2 − α2 = 3 3 4π sin α2 4 π sin α2 a3α2 ∘ --------- = ------------- 4π2 − α2. 192π 2sin3 α2](https://img.zadania.info/zad/5005441/HzadR4x.gif)
Odpowiedź: