/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 6464491

Przedstawiona na rysunku bryła to stożek ścięty płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny podstawy. Wysokość tej bryły jest równa H , a r i R (r < R ) są promieniami podstaw. Oblicz objętość tej bryły.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy brakującą część stożka.

PIC

Jeżeli H1 jest wysokością odciętego stożka, to z podobieństwa trójkątów KBE i LCE mamy

EK--= KB-- EL LC H + H1 R --------= -- H 1 r H--+ 1 = R- H 1 r H R − r Hr ---= ------ ⇒ H 1 = ------. H 1 r R − r

Liczymy teraz objętość ściętego stożka

1 1 1 1 V = --πR 2 ⋅(H + H 1)− -πr 2 ⋅H 1 = -πR 2H + --πH 1(R 2 − r2) = 3 3 3 3 = 1-πR 2H + 1π -Hr---⋅(R − r)(R + r) = 3 3 R − r 1 2 1 1 ( 2 2) = --πR H + -πHr (R + r) = --πH R + rR + r . 3 3 3

 
Odpowiedź: ( ) V = 13πH R2 + rR + r2

Wersja PDF