Zadanie nr 6727713
W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysujmy sobie przekrój opisanej sytuacji.
Musimy jakoś wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt . Zrobimy to na dwa sposoby, ale wcześniej zauważmy, że mamy równości
![CS-- AS = tg 2α ⇒ CS = r tg 2α AS r ----= cos2α ⇒ AC = ------. AC cos2α](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR2x.gif)
Obliczmy jeszcze objętość stożka (w zależności od i
).
![1 2 1 3 V = -πr ⋅CS = -πr tg2 α. 3 3](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR5x.gif)
Sposób I
Standardowy sposób wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole . Żeby nie mylić z promieniem podstawy stożka, oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek przez
. Mamy zatem
![2P AB ⋅SC 2r⋅r tg 2α rsin 2α R = ---ABC- = --------= --------r---= ---------- 2r + 2l 2r + 2l 2r + 2cos2α cos2α + 1](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR8x.gif)
Zatem objetość kuli wynosi
![4 4 ( rsin 2α ) 3 4 r3sin3 2α --πR 3 = --π ---------- = -π ------------3. 3 3 cos2α + 1 3 (cos 2α + 1)](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR9x.gif)
Zatem szukany iloraz jest równy
![1 3 3 -3πr--tg-2α--= ---tg-2α----= tg2-α(cos2-α+--1)-. 4π -r3sin32α-- 4--sin32α--- 4sin3 2α 3 (cos2α+ 1)3 (cos2α+ 1)3](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR10x.gif)
Sposób II
Promień okręgu wpisanego w trójkąt możemy również wyliczyć z trójkąta
, gdzie
- środek kuli wpisanej w stożek (zatem
to dwusieczna kąta
). Mamy
![OS-- SB = tg α ⇒ R = rtg α.](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR16x.gif)
Zatem objętość kuli to
![4-πR 3 = 4-πr3 tg 3α. 3 3](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR17x.gif)
A szukany iloraz to
![1 3 3πr--tg-2α-= tg-2α-- 43πr 3tg3 α 4tg3 α](https://img.zadania.info/zad/6727713/HzadR18x.gif)
No i mamy dobre ćwiczenie, żeby sprawdzić, że jest to ten sam wynik co poprzednio.
Odpowiedź: