Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6727713

W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę 2α wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysujmy sobie przekrój opisanej sytuacji.


PIC


Musimy jakoś wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Zrobimy to na dwa sposoby, ale wcześniej zauważmy, że mamy równości

CS-- AS = tg 2α ⇒ CS = r tg 2α AS r ----= cos2α ⇒ AC = ------. AC cos2α

Obliczmy jeszcze objętość stożka (w zależności od r i α ).

 1 2 1 3 V = -πr ⋅CS = -πr tg2 α. 3 3

Sposób I

Standardowy sposób wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole P = 1(a + b + c)r 2 . Żeby nie mylić z promieniem podstawy stożka, oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek przez R . Mamy zatem

 2P AB ⋅SC 2r⋅r tg 2α rsin 2α R = ---ABC- = --------= --------r---= ---------- 2r + 2l 2r + 2l 2r + 2cos2α cos2α + 1

Zatem objetość kuli wynosi

4 4 ( rsin 2α ) 3 4 r3sin3 2α --πR 3 = --π ---------- = -π ------------3. 3 3 cos2α + 1 3 (cos 2α + 1)

Zatem szukany iloraz jest równy

 1 3 3 -3πr--tg-2α--= ---tg-2α----= tg2-α(cos2-α+--1)-. 4π -r3sin32α-- 4--sin32α--- 4sin3 2α 3 (cos2α+ 1)3 (cos2α+ 1)3

Sposób II

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC możemy również wyliczyć z trójkąta SBO , gdzie O - środek kuli wpisanej w stożek (zatem BO to dwusieczna kąta B ). Mamy

OS-- SB = tg α ⇒ R = rtg α.

Zatem objętość kuli to

4-πR 3 = 4-πr3 tg 3α. 3 3

A szukany iloraz to

1 3 3πr--tg-2α-= tg-2α-- 43πr 3tg3 α 4tg3 α

No i mamy dobre ćwiczenie, żeby sprawdzić, że jest to ten sam wynik co poprzednio.  
Odpowiedź:  3 tg2α(cos32α+-1) = tg23α- 4sin 2α 4tg α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!