W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę 2α... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Objętość, 6727713

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stożek

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 6727713

W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę $2α$ wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysujmy sobie przekrój opisanej sytuacji.

Musimy jakoś wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Zrobimy to na dwa sposoby, ale wcześniej zauważmy, że mamy równości

CS-- AS = tg 2α ⇒ CS = r tg 2α AS r ----= cos2α ⇒ AC = ------. AC cos2α

Obliczmy jeszcze objętość stożka (w zależności od $r$ i $α$ ).

1 2 1 3 V = -πr ⋅CS = -πr tg2 α. 3 3

Sposób I

Standardowy sposób wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole $P = 1(a + b + c)r 2$ . Żeby nie mylić z promieniem podstawy stożka, oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek przez $R$ . Mamy zatem

2P AB ⋅SC 2r⋅r tg 2α rsin 2α R = ---ABC- = --------= --------r---= ---------- 2r + 2l 2r + 2l 2r + 2cos2α cos2α + 1

Zatem objetość kuli wynosi

4 4 ( rsin 2α ) 3 4 r3sin3 2α --πR 3 = --π ---------- = -π ------------3. 3 3 cos2α + 1 3 (cos 2α + 1)

Zatem szukany iloraz jest równy

1 3 3 -3πr--tg-2α--= ---tg-2α----= tg2-α(cos2-α+--1)-. 4π -r3sin32α-- 4--sin32α--- 4sin3 2α 3 (cos2α+ 1)3 (cos2α+ 1)3

Sposób II

Promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ możemy również wyliczyć z trójkąta $SBO$ , gdzie $O$ - środek kuli wpisanej w stożek (zatem $BO$ to dwusieczna kąta $B$ ). Mamy