Zadanie nr 8366202
Podstawa stożka o kącie rozwarcia jest kołem wielkim kuli. Oblicz objętość tego stożka jeżeli jego powierzchnia boczna wycina z powierzchni kuli okrąg o promieniu
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od narysowania przekroju osiowego opisanej sytuacji.
Sposób I
Z trójkąta prostokątnego mamy
![EC--= sinα ⇒ SC = --r--. SC sin α](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR2x.gif)
Ponieważ jest średnicą okręgu będącego przekrojem kuli, trójkąty
i
są prostokątne. W trójkącie prostokątnym
mamy
![AC--= tg 2α ⇒ AC = SC tg 2α = rtg2α-. SC sin α](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR7x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny .
![sin2α- AC-- = co sα ⇒ R = AB-- = --AC--- = ---rtg-2α--- = r-cos2α = --r---. AB 2 2 cosα 2 sin α cosα sin 2α cos 2α](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR9x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny .
![DB R ----= tgα ⇒ SD = ----. SD tg α](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR11x.gif)
Objętość stożka jest więc równa
![--r3--- 1- 2 1- 2 -R-- π- -cos32α ----πr-3----- V = 3πR ⋅SD = 3πR ⋅tg α = 3 ⋅ tg α = 3tg αco s32α .](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR12x.gif)
Sposób II
Tym razem połączmy środek kuli z punktem
. Trójkąt
jest równoramienny, więc
![∘ ∘ ∘ ∡BDC = 180 − 2∡DBC = 180 − 2 (9 0 − α) = 2α.](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR16x.gif)
Stąd
![∡EDC = 90 ∘ − ∡BDC = 9 0∘ − 2 α.](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR17x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
![r- ∘ --r---- R = sin ∡EDC = sin(90 − 2α) = cos2α ⇒ R = cos2α .](https://img.zadania.info/zad/8366202/HzadR19x.gif)
Wysokość i objętość ostrosłupa obliczamy dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: