/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 8366202

Podstawa stożka o kącie rozwarcia ∘ 2α < 90 jest kołem wielkim kuli. Oblicz objętość tego stożka jeżeli jego powierzchnia boczna wycina z powierzchni kuli okrąg o promieniu r .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od narysowania przekroju osiowego opisanej sytuacji.

PIC

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego SEC mamy

EC--= sinα ⇒ SC = --r--. SC sin α

Ponieważ AB jest średnicą okręgu będącego przekrojem kuli, trójkąty ABC i ASC są prostokątne. W trójkącie prostokątnym SAC mamy

AC--= tg 2α ⇒ AC = SC tg 2α = rtg2α-. SC sin α

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny ABC .

sin2α- AC-- = co sα ⇒ R = AB-- = --AC--- = ---rtg-2α--- = r-cos2α = --r---. AB 2 2 cosα 2 sin α cosα sin 2α cos 2α

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny SDB .

DB R ----= tgα ⇒ SD = ----. SD tg α

Objętość stożka jest więc równa

--r3--- 1- 2 1- 2 -R-- π- -cos32α ----πr-3----- V = 3πR ⋅SD = 3πR ⋅tg α = 3 ⋅ tg α = 3tg αco s32α .

Sposób II

Tym razem połączmy środek D kuli z punktem C . Trójkąt BDC jest równoramienny, więc

∘ ∘ ∘ ∡BDC = 180 − 2∡DBC = 180 − 2 (9 0 − α) = 2α.

Stąd

∡EDC = 90 ∘ − ∡BDC = 9 0∘ − 2 α.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny EDC .

r- ∘ --r---- R = sin ∡EDC = sin(90 − 2α) = cos2α ⇒ R = cos2α .

Wysokość i objętość ostrosłupa obliczamy dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: ----πr3--- 3 tgα cos32α

Wersja PDF