/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 8893508

Tworząca stożka o kącie rozwarcia α ma długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe 48π . Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta α .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Wykorzystajmy najpierw podaną informację o polu powierzchni całkowitej.

48π = Pc = πr2 + πrl = πr 2 + 8πr / : π 2 0 = r + 8r − 48 Δ = 64 + 192 = 256 −8 − 1 6 − 8 + 16 r = ---------= − 12 lub r = ---------= 4. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy r = 4 . Stąd

α r 4 1 sin --= -= --= -. 2 l 8 2

Stąd α = 3 0∘ 2 i α = 60∘ .

Pozostało obliczyć objętość stożka.

∘ -2----2 √ -------- √ --- √ -- h = 8 − 4 = 64− 16 = 48 =√ -4 3 1 1 √ -- 64 3π V = --πr2 ⋅h = --π ⋅16 ⋅4 3 = -------. 3 3 3

 
Odpowiedź: 64√-3π V = 3 , ∘ α = 60

Wersja PDF