Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9673962

Pole podstawy stożka jest trzy razy mniejsze od jego pola powierzchni całkowitej. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stożek do objętości stożka.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Z podanej informacji mamy równość

 ( ) 1- πrl + πr 2 = πr 2 / ⋅-3 3 π rl = 2r 2 l = 2r.

W takim razie trójkąt ABC jest równoboczny i promień kuli wpisanej w stożek to dokładnie promień x okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 2r . Mamy więc (ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym)

 √ -- √ -- 1 2r 3 r 3 x = 3-⋅--2---= -3--.

Szukany stosunek objętości jest więc równy

 √- √- 4π (r-3-)3 4⋅ -3- 4 -3----3--√- = -√--9-= -. 13πr2 ⋅ 2r23 3 9

 
Odpowiedź: 4 9

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!