Zadanie nr 9673962
Pole podstawy stożka jest trzy razy mniejsze od jego pola powierzchni całkowitej. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stożek do objętości stożka.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Z podanej informacji mamy równość
![( ) 1- πrl + πr 2 = πr 2 / ⋅-3 3 π rl = 2r 2 l = 2r.](https://img.zadania.info/zad/9673962/HzadR1x.gif)
W takim razie trójkąt jest równoboczny i promień kuli wpisanej w stożek to dokładnie promień
okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku
. Mamy więc (ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym)
![√ -- √ -- 1 2r 3 r 3 x = 3-⋅--2---= -3--.](https://img.zadania.info/zad/9673962/HzadR5x.gif)
Szukany stosunek objętości jest więc równy
![√- √- 4π (r-3-)3 4⋅ -3- 4 -3----3--√- = -√--9-= -. 13πr2 ⋅ 2r23 3 9](https://img.zadania.info/zad/9673962/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: