/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 9673962

Pole podstawy stożka jest trzy razy mniejsze od jego pola powierzchni całkowitej. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stożek do objętości stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z podanej informacji mamy równość

( ) 1- πrl + πr 2 = πr 2 / ⋅-3 3 π rl = 2r 2 l = 2r.

W takim razie trójkąt ABC jest równoboczny i promień kuli wpisanej w stożek to dokładnie promień x okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 2r . Mamy więc (ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym)

√ -- √ -- 1 2r 3 r 3 x = 3-⋅--2---= -3--.

Szukany stosunek objętości jest więc równy

√- √- 4π (r-3-)3 4⋅ -3- 4 -3----3--√- = -√--9-= -. 13πr2 ⋅ 2r23 3 9

 
Odpowiedź: 4 9

Wersja PDF