/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2025/Materiały pomocnicze

Przykładowe zadania
z Matematyki (matura od roku 2025)
poziom podstawowy Informator CKE

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ( ) 20 24 : 1 − --1- − (1 − 2025) :--1- 2025 2024 2024 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2024 D) 2026

Informacja do zadań 2.1 i 2.2

Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej.

Zadanie 2.1
(1 pkt)

Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y
A) o 40% pensji pana Y . B) o 90% pensji pana Y .
C) o 150% pensji pana Y . D) o 275% pensji pana Y .

Zadanie 2.2
(1 pkt)

Pensja pana Y jest niższa od pensji pana X
A) o 60% pensji pana X . B) o 73% pensji pana X .
C) o 90% pensji pana X . D) o 150% pensji pana X .

Zadanie 3
(2 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (3n + 5 )2 + 11n 2 − 18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Zadanie 4
(3 pkt)

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że a < b oraz obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba a2 + 11ab + b2 jest podzielna przez 9.

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n(n2 + 3n + 2) jest podzielna przez 6.

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczba √ --- √ -- √3250+-3√-54- 3250− 3 54 jest równa
A) ∘ --- 3 7469 B) (− 1) C) 4 D) √3-- 4 2

Zadanie 7
(2 pkt)

Udowodnij, że liczba 345 + 922 + 2714 jest podzielna przez 37.

Zadanie 8
(1 pkt)

Liczba √ -- √ -- | 5− 1|− 3|2 − 5| jest równa
A) − 7 B) √ -- 5− 4 5 C) √ -- 4 5 − 7 D) √ -- 5 − 2 5

Zadanie 9
(1 pkt)

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi 3% w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po 10 latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do 1%)
A) 30% B) 34% C) 36% D) 43%

Zadanie 10
(1 pkt)

Na wykresie przedstawiono zależność log K(t) , gdzie K (t) jest liczbą bakterii w próbce po czasie t wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili t = 0 rozpoczęcia obserwacji.

ZINFO-FIGURE

Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili t = 0 , liczba K bakterii była równa
A) 3 B) 100 C) 1000 D) 10000

Zadanie 11
(1 pkt)

Liczba [( √ -)2 (√ --)4 (√ -) 8] lo g 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 jest równa
A) √ -- 2 B) 7 C) 14 D) 27

Zadanie 12
(1 pkt)

Dane są liczby √ -- √ --- a = log 2(3 5+ 13) oraz ( ) √ -- √ --- b = log2 3 5 − 13 . Liczba a + b jest równa
A) log 245 B) lo g230 C) 4 D) 5

Zadanie 13
(2 pkt)

Dane są dwie liczby x i y , takie że iloraz x y jest równy √ - 1+--5 2 . Oblicz wartość wyrażenia x+y- x . Wynik podaj w postaci √ - a+c-b , gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Zadanie 14
(2 pkt)

Dane są liczby a = √ 5− 2 oraz b = √ 5+ 2 . Oblicz wartość wyrażenia √- √- √-a⋅b√--: -a−--b- a+ b a−b dla podanych a i b .

Zadanie 15
(2 pkt)

Dana jest liczba √ -- √ -- x = a− ( 3− 2)2 , gdzie a należy do zbioru liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √ -- √ -- 2 , 3 oraz √ -- √ -- 2 ⋅ 3 są niewymierne. Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Liczba x jest wymierna dla
A) a = 5 B) a = (√ 2-− √ 3)2 + 0,3 C) a = 6

D) √ -- a = − 2 6 + 1 2,5 E) √ -- √ --2 √ -- a = ( 2 − 6) − 2 6 F) √ -- a = − 6

Zadanie 16
(1 pkt)

Dane jest wyrażenie 2 W (x) = -22x- ⋅ x−x-2 x −4 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia W (x) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x .PF
Jeżeli wartość wyrażenia W (x) jest określona, to W (x ) = -2x- x+2 . PF

Zadanie 17
(1 pkt)

Dana jest nierówność

2x-−-1- x+--2- 1- 2 − 3 ≥ 6 .

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 18
(3 pkt)

Dane jest równanie

2 x − 1 -------= -----. 2x + 1 x + 2

Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.

Zadanie 19
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność (3x − 4 )(x− 1) < x .

Zadanie 20
(3 pkt)

Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b , które spełniają warunki:

3 3 2 2 a ⁄= 0, b ⁄= 0 oraz a + b = (a+ b)(a + 3ab+ b ).

Oblicz wartość liczbową wyrażenia a b dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b , spełniających powyższe warunki.

Zadanie 21
(1 pkt)

Układ równań { x+ 2y = 1 −4x − 8y = − 4.
A) nie ma rozwiązań B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania D) ma nieskończenie wiele rozwiązań

Zadanie 22
(1 pkt)

Funkcja y = f(x) jest określona za pomocą tabeli

x − 3 − 2 − 1 0123
y − 3 2 0 1021

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. PF
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy . PF
Największa wartość funkcji f jest równa 3. PF

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) wykresy funkcji liniowych f(x) = (2m + 7)x + 5 oraz g (x ) = 3x nie mają punktów wspólnych dla
A) m = − 2 B) m = −1 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 24
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

{ 2x − 6 dla x ≤ 2 f(x) = x − 4 dla x > 2.

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A) − 6 B) − 4 C) 3 D) 4

Zadanie 25
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 2 √ -- f(x) = x − b − 2 2 dla każdej liczby rzeczywistej x . Miejscem zerowym funkcji f jest √ -- x = 2 + 1 . Współczynnik b we wzorze funkcji f jest równy
A) − 3 B) 3 C) √ -- 3 − 2 D) √ -- 3 − 2 2

Zadanie 26
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = 3x 2 + 2x + m dla każdej liczby rzeczywistej x . Współczynnik m jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Funkcja f

A) ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B) ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C) nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,

ponieważ

1) 4− 12m > 0 2) 4 − 12m = 0 3) 4 − 12m < 0 ,

Informacja do zadań 27.1 – 27.3

Wykres funkcji y = f(x ) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 27.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f (x) > 2 .

Zadanie 27.2
(1 pkt)

Funkcja f jest malejąca w przedziale
A) [− 5,− 3] B) [3,8 ] C) [0,6] D) [− 3,3]

Zadanie 27.3
(2 pkt)

  • Wyznacz największa wartość funkcji f .

  • Wyznacz najmniejsza wartość funkcji f w przedziale [6,8] .

Zadanie 28
(4 pkt)

Funkcja f jest określona następująco

( |{ x+ 4 dla x ∈ [− 8,0] f(x) = 4 dla x ∈ (0,4] |( − 2x+ 12 dla x ∈ (4,6)

Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) na rysunku poniżej.

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz dziedzinę funkcji f .

  • Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

  • Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.

  • Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań równania f (x) = 4 .

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f (x) .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 29.1
(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x + 2) .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 29.2
(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) + 2 .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 30
(1 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa y = f(x ) , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) na rysunku poniżej.

ZINFO-FIGURE

Funkcja kwadratowa y = f(x) jest określona wzorem
A) y = − (x + 5 )2 − 6 B) y = − (x+ 5)2 + 6
C) 2 y = − (x − 5) − 6 D) 2 y = − (x − 5) + 6

Zadanie 31
(2 pkt)

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej y = g(x) należy punkt o współrzędnych (2,− 6) . Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = 3 , a jednym z miejsc zerowych funkcji g jest x 1 = 1 . Wyznacz wzór funkcji g w postaci iloczynowej.

Informacja do zadań 32.1 – 32.3

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości xk = 7,01 m , licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie x0 = 0 , y0 = 2,50 m . Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

y = − 0,1 74x2 + 1,3x + 2,5.

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 32.1
(1 pkt)

Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)
A) 3,04 m B) 3,06 m C) 3,80 m D) 4,93 m

Zadanie 32.2
(2 pkt)

Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 32.3
(3 pkt)

W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy 0,12 m. Oblicz współrzędną x środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Informacja do zadań 33.1 i 33.2

Czas T połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder N (t) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie t , licząc od chwili t0 = 0 , wyraża się zależnością wykładniczą:

( ) t 1 T N (t) = N 0 ⋅ 2- ,

gdzie N 0 jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej t0 = 0 .

Zadanie 33.1
(1 pkt)

Wykres zależności wykładniczej N (t) – opisanej we wstępie do zadania – przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 33.2
(3 pkt)

Czas połowicznego rozpadu węgla 14 C to około 5 700 lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla C14 w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi -1 16 masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu. Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Zadanie 34
(2 pkt)

Dany jest ciąg (a ) n określony wzorem rekurencyjnym

{ a1 = − 2 an+1 = n ⋅an + 4 dla n ≥ 1

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 35
(2 pkt)

Dany jest ciąg (a ) n określony wzorem ogólnym an = 4n − 9 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wykaż, że ciąg (an) jest arytmetyczny.

Zadanie 36
(1 pkt)

Ciąg (an) określony wzorem 2 an = n − n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 jest

A) rosnący,B) malejący,C) stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1

1) różnica an+1 − an jest liczbą ujemną.
2) różnica an+ 1 − an jest równa zero.
3) różnica an+ 1 − an jest liczbą dodatnią.

Zadanie 37
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 1 x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz wartość m , dla której liczby f(m ) , f(1 ) , f(2) są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Zadanie 38
(4 pkt)

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

ZINFO-FIGURE

Oblicz wymiary x oraz y każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Zadanie 39
(1 pkt)

Dany jest kąt o mierze α taki, że sin α = 4 5 oraz 9 0∘ < α < 18 0α . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Dla kąta o mierze α spełnione jest równanie: cosα = − 3 5 .PF
Dla kąta o mierze α spełnione jest równanie: 3 |tgα | = 4 . PF

Zadanie 40
(2 pkt)

W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków |AB | = 12 , |BC | = 8 oraz miara kąta |∡ABC | = 60∘ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A.

Zadanie 41
(4 pkt)

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r . Środek S tego okręgu leży na boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków AB i AC są równe odpowiednio |AB | = 3r oraz √ -- |AC | = 3r .

ZINFO-FIGURE

Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

Zadanie 42
(1 pkt)

Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC . Długość odcinka SA jest równa 10. Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A do boku BC jest równa
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30

Zadanie 43
(1 pkt)

Dane są okrąg o środku S oraz prosta k styczna do okręgu w punkcie A . Odcinek AB jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą k a cięciwą AB jest równa 50 ∘ . Punkt C leży na okręgu. Kąt wpisany BCA jest ostry.

ZINFO-FIGURE

Miara kąta wpisanego BCA jest równa
A) 100 ∘ B) 80∘ C) 50 ∘ D) 40∘

Zadanie 44
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC | = 12 , |BC | = 5 , |AB | = 13 . Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa
A) 1 B) 2 C) 52 D) 20 13

Zadanie 45
(3 pkt)

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta wybrano punkt D , taki, że |AD | = 1|AB | 4 , a na boku BC wybrano taki punkt E , że 1 |BE | = 5|BC | (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta ABC jest równe 20.

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole trójkąta DBE .

Zadanie 46
(3 pkt)

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku A . Niech każdy z boków tego trójkąta: CA , AB , BC będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 . Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: W 1, W 2, W 3 .

ZINFO-FIGURE

Pola trójkątów: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 oznaczymy odpowiednio jako P 1,P 2,P3 . Udowodnij, że

P = P + P 3 1 2

Zadanie 47
(3 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AD | = 2 . Kąt BDA ma miarę α , taką, że tgα = 2 . Przekątna BD i prosta przechodząca przez wierzchołek C prostopadła do BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka CE .

Zadanie 48
(2 pkt)

Trzy różne punkty A , B i D leżą na okręgu o środku w punkcie S . Odcinek BD jest średnicą tego okręgu. Styczne k i l do tego okręgu, odpowiednio w punktach A i B , przecinają się w punkcie C (zobacz rysunek poniżej).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąty ACB i ASD są podobne.

Zadanie 49
(3 pkt)

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB | = 4 , |BC | = 5 , |AC | = 6 . Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta ABC .

Zadanie 50
(1 pkt)

Proste k i l przecinają się w punkcie A . Proste m, n i s są wzajemnie równoległe i przecinają obie proste k i l w punktach B , C , D, E, F, G (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że: |BC | = 30 , |CD | = 20 , |GF | = 21 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka FE .

Zadanie 51
(1 pkt)

Okrąg o równaniu 2 2 (x − 2) + (y + 3) = 1 6 ma środek S i promień r . Wówczas
A) S = (−2 ,3), r = 4 B) S = (2,− 3), r = 4
C) S = (− 2,3 ), r = 16 D) S = (2 ,−3 ), r = 16

Zadanie 52
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są punkty A = (1,2) oraz B = (3,7) . Punkty A 0 oraz B0 są odpowiednio obrazami punktów A i B w symetrii środkowej o środku w punkcie O = (0,0) . Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A 0 i B0 jest równy
A) 5 2 B) (− 5) 2 C) 2 5 D) ( 2) − 5

Zadanie 53
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dany jest trapez ABCD , w którym boki AB i CD są równoległe oraz C = (3,15) . Wierzchołki A i B tego trapezu leżą na prostej o równaniu 3x − y + 10 = 0 . Bok CD tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A) y = 3x + 15 B) y = 3x + 6 C) 5 y = 3x+ 10 D) 1 y = − 3x + 16

Zadanie 54
(3 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , punkty A = (− 1,− 5) , B = (2,− 7) , C = (6,9) i D = (− 2,9) są wierzchołkami czworokąta ABCD . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD .

Zadanie 55
(4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie ( 11 17) S = 2-,2- . Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y = x− 2 , a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y = 3x − 6 . Oblicz współrzędne wierzchołka B .

Zadanie 56
(4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (2,8) oraz B = (1 0,2) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABP , w którym |AP | = |BP | . Wierzchołek P leży na osi Ox układu współrzędnych. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP .

Zadanie 57
(1 pkt)

Dany jest prostopadłościan ABCDEF GH , w którym prostokąty ABCD i EFGH są jego podstawami. Odcinek BH jest przekątną tego prostopadłościanu. Na którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt α pomiędzy przekątną BH prostopadłościanu a jego ścianą boczną ADHE ?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 58
(4 pkt)

W prostopadłościanie ABCDEF GH dane są:

√ ---- √ ---- tg β = 9, |BG | = 2 1 30, |BH | = 2 19 4, 7

gdzie odcinek BH jest przekątną prostopadłościanu, odcinek BG jest przekątną ściany bocznej BCGF , β jest miarą kąta GBC .

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ABCDEF GH .

Zadanie 59
(1 pkt)

Dane są dwa prostopadłościany podobne: B1 oraz B2 . Objętość prostopadłościanu B1 jest równa V , a objętość prostopadłościanu B2 jest równa 27V . Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu B 1 jest równe P .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu B2 jest równe

A) 27P ,B) 9P ,C) √ -- 3 3P

ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy

1)stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.
2) pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
3) kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

Informacja do zadań 60.1 i 60.2

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy d = 20 cm , wysokości H = 25 cm i tworzącej l . Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską ABS o kształcie wycinka koła o promieniu l i środku S . Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek SB z odcinkiem SA .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 60.1
(1 pkt)

Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do ∘ 1 )
A) 44∘ B) 136∘ C) 13 4∘ D) 68∘

Zadanie 60.2
(3 pkt)

Oblicz miarę kąta BSA wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka. Miarę kąta BSA podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Zadanie 61
(4 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ∘ , a krawędź podstawy ma długość równą √ -- 6 3 . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 62
(1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π , a promień jego podstawy ma długość 2. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego walca jest równa A) 16 B) 32 C) 16π D) 3 2π

Zadanie 63
(2 pkt)

Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.

ZINFO-FIGURE

Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.

Informacja do zadań 64.1 i 64.2

Andrzej ma w szafie 4 koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; 3 pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz 5 par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.

Zadanie 64.1
(1 pkt)

Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa
A) 12 B) 72 C) 60 D) 720

Zadanie 64.2
(3 pkt)

Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.

Zadanie 65
(4 pkt)

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.

Informacja do zadań 66.1 – 66.4

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie F . Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy F , a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 66.1
(1 pkt)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Dominantą miesięcznych zarobków w firmie F jest

A) 10 tys. zł,B) 4,5 tys. zł,C) 4 tys. zł,

ponieważ

1)tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie F .
2) ta wartość zarobków jest największa w firmie F .
3) iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie F .

Zadanie 66.2
(1 pkt)

Oblicz medianę miesięcznych zarobków w firmie F .

Zadanie 66.3
(2 pkt)

Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy F .

Zadanie 66.4
(2 pkt)

Oblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników firmy F stanowi liczba osób zarabiających 5,5 tys. zł lub mniej. Wynik podaj w zaokrąglaniu do 1%.

Zadanie 67
(2 pkt)

Ze zbioru sześciu liczb {1 ,2,3,4,5,6} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.

Wersja PDF
Rozwiązania